Maths PCSI

Cours

D´composition des e fractions rationnelles
Table des mati`res e
1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Pr´sentation de C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Pˆles, fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3 D´rivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 D´composition dans C(X) e 2.1 Th´or`me de d´composition . . e e e 2.2 Pˆles simples . . . . . . . . . . o 2.3 Pˆle double . . . . . . . . . . . o 2.4 Au del` des pˆles doubles (HP) a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 3 3 5 6 7 7 7 7 8 9

3 D´composition dans R(X) e 3.1 Th´or`me de d´composition . . . . . . . . e e e 3.2 Pˆles r´els simples . . . . . . . . . . . . . o e 3.3 Pˆles complexes conjugu´s simples . . . . o e 3.4 Pˆles complexes conjug´s d’ordre 2 et plus o e 3.5 Consid´rations de parit´ . . . . . . . . . . e e

. . . . . . . . . . . . (HP) . . . .

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Dans tout ce chapitre, K d´signe un corps : R ou C. e Il s’agit essentiellement d’un chapitre TECHNIQUE : le but du jeu est d’oublier la “technique d’identification” vue en terminale, pour appliquer des m´thodes bien plus e rapides. Tous les exemples sont trait´s dans une feuille Maple jointe. e

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1.1

G´n´ralit´s e e e
Pr´sentation de C(X) e

De mˆme que Q existe parce que Z poss`de des ´l´ments non inversibles, on peut construire e e ee un corps commutatif contenant K[X], dont tous les ´l´ments non nuls sont inversibles, et ee P dont tous les ´l´ments s’´crivent (de fa¸on non unique, comme pour les rationnels) ee e c avec Q P ∈ K[X] et Q ∈ K[X] \ {0}. Ce corps est not´ K(X) : “corps des fractions