Fraction

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Maths PCSI

Cours

D´composition des e fractions rationnelles
Table des mati`res e
1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Pr´sentation de C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Pˆles, fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3 D´rivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 D´composition dansC(X) e 2.1 Th´or`me de d´composition . . e e e 2.2 Pˆles simples . . . . . . . . . . o 2.3 Pˆle double . . . . . . . . . . . o 2.4 Au del` des pˆles doubles (HP) a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 3 3 5 6 7 7 7 7 8 9

3 D´composition dans R(X) e 3.1 Th´or`me de d´composition . . . . . . . . e e e 3.2 Pˆles r´els simples . . . . . . . . . . . . . o e 3.3 Pˆles complexes conjugu´s simples . . . . o e 3.4 Pˆles complexes conjug´s d’ordre 2 et plus o e 3.5Consid´rations de parit´ . . . . . . . . . . e e

. . . . . . . . . . . . (HP) . . . .

1

Dans tout ce chapitre, K d´signe un corps : R ou C. e Il s’agit essentiellement d’un chapitre TECHNIQUE : le but du jeu est d’oublier la “technique d’identification” vue en terminale, pour appliquer des m´thodes bien plus e rapides. Tous les exemples sont trait´s dans une feuille Maple jointe. e

1
1.1G´n´ralit´s e e e
Pr´sentation de C(X) e

De mˆme que Q existe parce que Z poss`de des ´l´ments non inversibles, on peut construire e e ee un corps commutatif contenant K[X], dont tous les ´l´ments non nuls sont inversibles, et ee P dont tous les ´l´ments s’´crivent (de fa¸on non unique, comme pour les rationnels) ee e c avec Q P ∈ K[X] et Q ∈ K[X] \ {0}. Ce corps est not´ K(X) : “corps des fractionsrationnelles ` e a coefficients dans K”. X 1 Il faut comprendre que les fractions et SONT EGALES, et pas seulement X(1 + X) 1+X e e les jours de beau temps (condition non grotesque1 mais pas toujours v´rifi´e), ou bien e e lorsque X = −1 (condition exacte et grotesque bien que (en fait, car ) toujours v´rifi´e. . . ). P On admet que toute fraction F peut s’´crire sous la forme , o` P et Q “sont premierse u Q a o entre eux” (on note P ∧ Q = 1), c’est-`-dire : il n’existe pas de polynˆme non constant A e e a e tel que A divise P et Q. Il y a mˆme unicit´ si on impose ` Q d’ˆtre unitaire. On parle de forme irr´ductible. e Notons que si P ∧ Q = 1, alors P et Q n’ont pas de racine commune : pourquoi ? P = 0 par deg F = deg P − deg Q, Terminons par d´finir le degr´ d’une fraction F = e e Q avec . Lelecteur chipotteur v´rifiera que cette d´finition est coh´rente. . . apr`s s’ˆtre pos´ e e e e e e P1 P2 la question : qu’est-ce qui se passe si F = = ? Q1 Q2

Exercice 1 Que dire de deg(F1 F2 ) et deg(F1 + F2 ) ? 1.2 Pˆles, fonctions rationnelles o

´ Definition 1

Soit F ∈ K(X). On ´crit F = e

P1 P2 = avec P1 ∧ Q1 = 1 = P2 ∧ Q2 . Alors Q1 et Q2 ont Q1 Q2 les mˆmes (´ventuelles) racines (lemontrer ; en fait, Q1 et Q2 sont proportionnels, mais e e c’est une autre histoire. . . ) : on le nomme les pˆles de F . o

e e e Remarque 1 Plus pr´cis´ment, on peut mˆme montrer que les racines de Q1 et Q2 ont mˆme multiplicit´ vis-`-vis de Q1 et Q2 : on peut alors parler de la multiplicit´ du pˆle e e a e o d’une fraction. P est une fraction dont l’ensemble des pˆles est P, on d´finit defa¸on naturelle o e c Q P (x) une application de K \ P dans K par : F (x) = · Q(x) De telles fonctions s’appellent les “fonctions rationnelles”, ce qui ´tend la notion de e fonction polynomiale. Si F =
1

bien que ni n´cessaire ni suffisante e

2

1.3 D´rivation e ´ Definition 2

On d´finit la fraction d´riv´e de F = e e e

P Q − PQ P · ∈ K(X), que l’on note F , par : F = Q2 Q P1 P2 Le...
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