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EXERCICES SUR LES VECTEURS Question de cours Recopier et compléter les propriétés suivantes ® ® 1. G est le centre de gravité du triangle ABC si et seulement si AG = .... AI (I désigne le milieu de [BC]) ® 2. G est le centre de gravité du triangle ABC si et seulement si GA + ... + ... = ...

Exercice 1 Relation de Chasles Simplifier au maximum les relations suivantes ® u = ® 2. v = 1. ® ® ® AC+ BA + CB ® ® ® ® DE - DF + EF - ED

Exercice 2 Parallélisme ® 1® 1. Placer le point E tel que AE = AB . 3 ® ® 2. Placer le point F tel que AF = 3 AC . 3. Démontrer que les droites (CE) et (FB) sont parallèles. Soit ABC un triangle.

Exercice 3 Alignement ABCD est un parallélogramme. ® ® 1 ® 1 ® 1. Placer les points E et F tels que DE = DB et DF = - DB . 3 4 2. Placer les points G et H telsque BAEG et BAFH soient des parallélogrammes. ® ® ® ® 3. Démontrer que CH = DF et CG = DE 4. En déduire que les points C, G et H sont alignés.

Exercice 4 Centre de gravité ABC est un triangle et O un point quelconque à l'intérieur de ABC. 1. Placer les points I, J et K teks que OABI, OBCJ et OCAK soient des parallélogrammes. 2. Démontrer que O est le centre de gravité du triangle IJK. Exercice 5Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante et, dans chaque cas, illustrer par une figure : 1. AD = DB ® ® 2. AB = CD ® ® ® 3. DC = DA+ DB ® ® 4. AD = BC
® ®

A. ABCD est un parallélogramme B. ABDC est un parallélogramme C. D est le milieu de [AB] D. ADBC est un parallélogramme

Exercices sur les vecteurs

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Exercice 6Simplifier au maximum l'écriture des vecteurs suivants : 1. 2. ® ® ® ® u = AC + BA+ CB ® ® ® ® ® v = DE - DF + EF - ED

® ® ® ® 3. w = BA + MA - MB

Exercice 7 Le segment [AB] est divisé en 6 parties de même longueur.

A Compléter les relations suivantes par : · la lettre qui convient : ® ® 1) E... = -2 EF ® ® ® 2) C... + ...G = 0 ® 3 ® A... 3) AB = 2 · le nombre qui convient : ® ® 4) CE = ... AB® ® 5) AD = ... BF ® ® 6) DE = ... BF

C

D

E

F

G

B

Exercice 8 ® ® ® ® ® ® 1. Construire les points B et C tels que AB = u + v et AC = u - v . Représenter les vecteurs u + v et u - v . ® ® ® ® 1 ® ® 2. Construire les points E et F tels que DE = w - 3 u et DF = - w + u . 2
® ® ® ® ®

v
®

®

w

u

D A

Exercices sur les vecteurs

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Exercice 9 Soit ABC un triangle. Simplifier au maximum l'écriture des vecteurs suivants : ® ® ® ® u = AC + BA+ 2 CB ® ® ® ® ® v = 2 AC - CB + BA - AB
® ®

Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ? Justifier.

Exercice 10 Soient A et B deux points tels que AB = 5 cm. ® ® ® Soit M le point défini par : -5 MA + 3 MB = 0 . ® ® Déterminer le vecteur AM en fonction du vecteur ABet construire le point M.

Exercice 11 Soit ABCD un parallélogramme de centre I. ® ® ® ® ® ® 1. Construire le point M tel que IM = IA + ID et le point N tel que IN = IB + IC . ® ® ® 2. Démontrer que IM + IN = 0 . Que peut-on en déduire ? ® ® ® ® 3. Justifier les deux égalités suivantes : BN = IC et IC = AI . En déduire la nature du quadrilatère ABNI.

Exercice 12 Soit ABC un triangle. ® 1® 1.Placer le point E tel que AE = AB . 3 ® ® 2. Placer le point F tel que AF = 3 AC . 3. Démontrer que les droites (CE) et (FB) sont parallèles.

Exercice 13 Soit PQR un triangle de centre de gravité G. Soient les points I, J et K tels que : ® ® ® ® ® ® GI = -3 GP , GJ = -3 GQ et GK = -3 GR 1. Faire une figure. 2. Démontrer que G est le centre de gravité du triangle IJK.

Exercices sur lesvecteurs

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Exercice 14 ABC est un triangle avec AB = 8 cm. ® ® ® 1. Placer le point E tel que : 3 EA + 5 EB = 0 . (Justifier la position de E à l'aide d'un calcul vectoriel) ® ® ® 2. Démontrer que 3 CA + 5 CB = 8 CE .

Exercice 15 ABC est un triangle de centre de gravité G. Le point Z est le milieu de [AC]. ® 1 ® ® 1 ® ® 1 ® AB , BI = BC et CJ = CA ....
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