GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.
Toute propriété de géométrie plane est vrai dans n’importe quel plan de l’espace. On notera E l’espace et P un plan.

1. Rappels sur le barycentre.
Théorème et définition : (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An ,an) sont n points pondérés donnés de E tels que : a1 + a2 + … + an ≠ 0, alors il existe un unique point G vérifiant : !!!! " !!!!" !!!!" ! " a1 GA1 + a2 GA2 + … + an GAn = 0 . Ce point est appelé le barycentre des points pondérés (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An,an). On le notera : G = bar{(A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An,an)}. Remarque : Si a1 = a2 = … = an = a alors G = bar{(A1,a) ; (A2,a) ; … ; (An,a)} est appelé isobarycentre des points A1 ; A2 ; … ; An . Théorème : Soient (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An ,an) n points pondérés donnés de E tels que : a1 + a2 + … + an ≠ 0, si G le barycentre des points pondérés (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An ,an) alors : !!!!" !!!!" !!!!" !!!! " Pour tout point M de E : a1 MA1 + a2 MA2 + … + an MAn = (a1 + a2 + … + an )MG ce qui équivaut à dire que : !!!! " !!!!" !!!!" !!!!" 1 MG = a1 MA1 + a2 MA2 + … + an MAn . a1 + a2 + … + an

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Pour tout réel k non nul : G est aussi le barycentre des points pondérés (A1,ka1) ; (A2, ka2) ; … ; (An, kan). Propriété : Dans un système de n points pondérés, on peut : « multiplier les coefficients » de chaque pont pondéré par un réel non nul, sans changer le barycentre du système pondéré. « remplacer » plusieurs points pondérés dont la somme des coefficients est non nulle par leur barycentre H, appelé barycentre partiel, affecté de la somme des coefficients de ces points. « remplacer un barycentre partiel » par le système pondéré dont il est le barycentre. « regrouper » les couples relatifs à un même point. « découper » un point pondéré (Ai,ai)en plusieurs points pondérés, c’est à dire remplacer (Ai ,ai) par (Ai , ! i1 ) ; (Ai , ! i2 ) ; … ; (Ai , ! ip ) avec ! i1 + ! i2 + … + ! ip = ai . Exemple :

{( A,2);(B,4);(C, !1);(D,2);(E, !1)} , alors pour tout réel k non nul : G =