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GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.
Toute propriété de géométrie plane est vrai dans n’importe quel plan de l’espace. On notera E l’espace et P un plan.

1. Rappels sur le barycentre.
Théorème et définition : (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An ,an) sont n points pondérés donnés de E tels que : a1 + a2 + … + an ≠ 0, alors il existe un unique point G vérifiant : !!!! " !!!!" !!!!" ! " a1 GA1 + a2 GA2 + … + anGAn = 0 . Ce point est appelé le barycentre des points pondérés (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An,an). On le notera : G = bar{(A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An,an)}. Remarque : Si a1 = a2 = … = an = a alors G = bar{(A1,a) ; (A2,a) ; … ; (An,a)} est appelé isobarycentre des points A1 ; A2 ; … ; An . Théorème : Soient (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An ,an) n points pondérés donnés de E tels que : a1 + a2 + … + an ≠ 0,si G le barycentre des points pondérés (A1,a1) ; (A2,a2) ; … ; (An ,an) alors : !!!!" !!!!" !!!!" !!!! " Pour tout point M de E : a1 MA1 + a2 MA2 + … + an MAn = (a1 + a2 + … + an )MG ce qui équivaut à dire que : !!!! " !!!!" !!!!" !!!!" 1 MG = a1 MA1 + a2 MA2 + … + an MAn . a1 + a2 + … + an

(

)

Pour tout réel k non nul : G est aussi le barycentre des points pondérés (A1,ka1) ; (A2, ka2) ;… ; (An, kan). Propriété : Dans un système de n points pondérés, on peut : « multiplier les coefficients » de chaque pont pondéré par un réel non nul, sans changer le barycentre du système pondéré. « remplacer » plusieurs points pondérés dont la somme des coefficients est non nulle par leur barycentre H, appelé barycentre partiel, affecté de la somme des coefficients de ces points. « remplacer unbarycentre partiel » par le système pondéré dont il est le barycentre. « regrouper » les couples relatifs à un même point. « découper » un point pondéré (Ai,ai)en plusieurs points pondérés, c’est à dire remplacer (Ai ,ai) par (Ai , ! i1 ) ; (Ai , ! i2 ) ; … ; (Ai , ! ip ) avec ! i1 + ! i2 + … + ! ip = ai . Exemple :

{( A,2);(B,4);(C, !1);(D,2);(E, !1)} , alors pour tout réel k non nul : G =bar {( A,2k ) ; ( B,4k ) ; (C, !k ) ; ( D,2k ) ; ( E, !k )} . Si I = bar {( B,4) ; (C, !1) ; ( E, !1)} alors G = bar {( A,2) ; ( D,2) ; ( I,2)} . De plus si H = bar {( A,2) ; ( D,2) ; ( I,6)} alors H = bar {( A,2) ; ( B,12) ; (C, !3) ; ( D,2) ; ( E, !3)} Si J = bar {( A,2) ; ( A,1) ; (C,3) ; ( D, !2) ; (C, !3)} alors J = bar {( A,2 + 1) ; (C,3 + (!3)) ; ( D, !2)} = bar {( A,3) ; (C,0) ; ( D, !2)} =bar {( A,3) ; ( D, !2)} . Si K = bar {( A,3) ; (C,1) ; ( D,2)} alors K = bar {( A,1) ; (C,1) ; ( A,2) ; ( D,2)} et donc si l’on note O et O’ les milieux respectifs de [AC] et de [AD], K = bar {(O,2) ; (O ',4)} = bar {(O,1) ; (O ',2)} .
Si G = bar

Exercice : ABCD est un tétraèdre et G est l’ isobarycentre des sommets A, B, C et D. Démontrer que G est le point de concours des quatre médianes dutétraèdre ABCD, ainsi que des droites reliant les milieux d’arêtes « opposées » (sans sommet commun) (droites remarquables du tétraèdre). (Médiane du tétraèdre : droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.) 1

2. Produit scalaire du plan et conséquences.
2.1. Rappel sur le produit scalaire dans le plan.

! " ! !" " ! ! " ! " ! " Définition propriété : u et v sontdeux vecteurs de P . v ' est le projeté orthogonal de v sur u . ! " ! " On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel égal. ! " !" ! ! " !" ! # u ! v ' si u et v ' sont de même sens % ! " !" ! ! " !" ! 1. $ %" u ! v ' si u et v ' sont de sens contraire & ! " ! " ! ! " " 2. u ! v ! cos(u;v)
! ! 2% " " ! u!v ' & ! " ! ! ! " 4. xx’ + yy’ si u (x,y) et v (x’,y’) dans le repère (O;i;j) .
3.
2

" ! " 1" ! 2 $ u + v 2#

Remarques : On peut indistinctement choisir l’une de ces expressions du produit scalaire comme définition ; les trois autres deviennent alors des propriétés. ! " ! ! " " ! " On note u .v le produit scalaire des vecteurs u et v . Les configurations ci-dessous ne sont que des illustrations diverses de la définition, mais elles jouent un rôle majeur dans...
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