Francais

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 7 (1508 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 17 octobre 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS

1. Distance entre deux nombres réels 1.1. Définition : On appelle distance ou écart entre 2 réels x et y, la distance sur la droite numérique entre les points d'abscisses x et y ; on la note d(x ; y). Exemples : Sur la droite réelle, on considère les points ci-dessous : A –4 On a alors : d(0 ; –4) = OA = 4 d(1 ; 3) = BC = 2 1.2. Cas particulier : La distanceentre 0 et x est égale à : Autrement dit : d(–3 ; –4) = DA = 1 d(0 ; 3) = OC = 3 d(0 ; –3) = OD = 3 d(–3 ; 3) = DC = 6 D –3 –2 –1 O 0 B 1 2 C 3 4

ì x si x est positif í - x si x est negatif î
d(0 ; x) = max(-x ; x)

De même, pour la distance entre deux réels x et y, on est amené à distinguer deux cas : La distance entre x et y est égale à :

ì y - x si y est plus grand que x í x - y si x estplus grand que y î

Conclusion : d(x ; y) est parmi les différences y – x et x – y celle qui est positive. Autrement dit : d(x ; y) = max(y - x ; x - y)

Remarque : la notion de distance est symétrique : d(x ; y) = d(y ; x).

2. Valeur absolue d'un nombre réel 2.1. Définition : On appelle valeur absolue d'un réel x la distance (ou l'écart) entre 0 et x. On la note |x|. On a donc : 2.2. Autrescaractérisations : · |x| = max(-x ; x). ì 1 si x > 0 ï · |x| = x ´ sgn(x) où sgn est la fonction "signe" définie par sgn(x) = í 0 si x = 0 . ï- 1 si x < 0 î · |x| = x 2 . Exercice : écrire sans les valeurs absolues l'expression : |x - 2| + |2x + 1| (On pourra faire un tableau en distiguant les trois cas : x  Valeurs absolues Page 1

|x| = d(x ; 0).

1 1 ; - < x  2 et x > 2) 2 2
G.COSTANTINI http://bacamaths.net/

2.3. Propriétés de la valeur absolue Langue française P1 P2 P3 La valeur absolue d'une quantité A est un nombre positif Une quantité A dont la valeur absolue est nulle est nulle. Deux quantités dont les valeurs absolues sont égales sont soit égales soit opposées. P4 La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues. P5 La valeur absolue d'unquotient est égale au quotient des valeurs absolues. P6 La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues Langage mathématique |A|  0 pour tout A Î  |A| = 0 entraine A = 0 |A| = |B| entraine A = B ou A = –B

|AB| = |A| |B| A A = lorsque B ¹ 0 B B |A + B|  |A| + |B| (Inégalité triangulaire)

2.4. Théorème : Quels que soient les réels x et y, on a : d(x ; y) =|x – y|

2.5. Théorème : Si A  B et -A  B alors |A|  B et réciproquement. Variante : -B  A  B Û |A|  B

Exercices d'application des propriétés et des théorèmes : Concerne P2 et P3 |2x –3| = 0 |3x + 4| = |2x +6| |x| = 9 |2 – x| = –5 P4 |1 – x| |1 + x| = 9 Résoudre les équations ci-dessous Solution(s)

Théorème 2.4. |x – 2| = 5 ou P3 |x + 3| = 4

Exercice sur l'inégalité triangulaire :Démontrer que pour tous réels A et B, on a : On a |A| = |A - B + B|  |A - B| + |B| d'où : A - B  |A - B| |A| - |B|  |A - B|

De même, |B| = |B - A + A|  |B - A| + |A| = |A - B| + |A| d'où : |B| - |A|  |A - B| Et d'après le théorème 2.5. :
Valeurs absolues

A - B  |A - B|
Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

3. Représentation graphique des fonctions "valeur absolue" Lesreprésentations graphiques des fonctions de la forme x a |x - a| ont la même allure en forme de "V". ¦ : x a |x|
y

¦ : x a |x - a|
y

O

x

a

O

x

4. Encadrements d'un nombre réel 4.1. Définition : Soit x un nombre réel. Réaliser un encadrement de x, c'est trouver deux nombres réels a et b tels que a  x  b. Le nombre b – a s'appelle l'amplitude de l'encadrement. Exemples :Encadrement : 1 1,414  2 2 2  1,415 Amplitude : 1 10–3 10–2

3,14  p  3,15

Exercice : Sachant que |x – 3| < 2´10–3, donner un encadrement de x : 2,998 < x < 3,002 Comme le suggère cet exercice, on dit que 3 est une valeur approchée de x à 2 ´ 10–3 près. On énonce, de façon plus générale la définition suivante : 4.2. Définition : Lorsque |x – a|  e, on dit que a est une valeur approchée de x...
tracking img