Fst sept 2007 fr.pdf

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UNIVERSITE DES MONTAGNES
Concours d’entrée en Première année Date : 23 septembre 2007

Filière des Sciences et Technologie

Durée: 2h30 / épreuve

SYNTHESE DES EPREUVES

INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS
La durée de chaque épreuve est de 2 heures 30 minutes Chaque épreuve est constituée de 20 exercices. Chaque exercice comporte cinq propositions de réponse: a), b), c), d), e). Le candidatindiquera pour chaque proposition si elle est vraie (V) ou fausse (F). Toute réponse exacte donne droit à un point. Toute réponse inexacte entraîne le retrait d’un demi point. L’annulation d’une réponse ou l’abstention n’est pas prise en compte, c’est-àdire qu’elle ne rapporte ni ne retire de point. Il est conseillé de s’abstenir de porter VRAI OU FAUX quand on n’est pas sur de la réponse Unebonification d’un point est ajoutée chaque fois qu’un exercice est traité correctement, c’est-à-dire lorsque les mentions (V) ou faux (F) sont toutes exactes pour les 5 propositions de réponse. Vous devez commencer par remplir la partie administrative de votre feuille de composition.

1

Epreuve de Mathématiques Calculatrices autorisées
Exercice 1

On considère la fonction f définie sur [0;1[ ,telle que f(0) = 0 et f ' ( x) = demande pas d’expliciter f(x)) a) 0 p 1 − x ≤ 1 − x 2 ≤ 1 + x , pour tout x de [0;1[ b) 4 − x ≤ −2 − x 2 , pour tout x de [0;1[ c)

1 1− x2

pour tout réel x de [0;1[ (on ne

d) h' ( x) ≤ f ' ( x) , sur [0;1[ , où

1 1+ x [0;1[



1 1− x2



1 1− x

, pour tout x de

h( x) = 2 1 + x − 2 e) f ( x) ≤ g ( x) sur [0;1[

Exercice 2

Soit lafonction f définie par

r r f ( x) = x + 1 + 2e − x , et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i , j ) d) une équation de la tangente à (C) au point a) f’ est croissante dur [ln 2;+∞[  − 1 b) f est positive sur ]− ∞; ln 2] A  est y = (1-2e)x + 1   c) f n’admet pas d’asymptote  2e 
e) l’équation f(x) = 0 n’admet pas de zéro sur IR

Exercice 3

Pour tout entiernaturel n, on pose In =
π



π

4

0

dt cos 2 n +1 t
d) e)

a) b) c)
Exercice 4

1 4 cos t cos t ∫0 (1 − sin t + 1 + sin t )dt 2 1 2− 2 I 0 = ln( ) 2 2+ 2 I0 =

2nI n = (2n − 1) I n −1 + 2(n + 1) I n = 2nI n−1 +

2n 2 2n 2

I0 =

1 3− 2 ln( ) 2 1+ 2
Un 1+Un n +1 u0 u0 ≥∫ dx n 1 + xu 1 + nu 0 0 u0 u2 p 1 + 2u 0

Soit les suites (U n ) n∈IN à termes strictement positifs,telles que pour tout n de IN, U n +1 ≥ a) La suite (

1 ) n∈IN vérifie les deux n +1

d) e)

hypothèses précédentes b) c)

u0 1 + nu 0 1 u n +1 + u n p − , ∀n ∈ IN , n ≥ 2 10n

∀n ∈ IN , u n ≥

Exercice 5 r r Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u , v ) . Soit l’équation z 2 + 2 z + 5 = 0 . A et A’ sont les points

images des solutions de cette équation, tels que Im( ZA ) f O . B est l’image de A par le quart de tour direct de centre O. a) b) c) d)

Z A = −1 + 2i Z B = −2 − i
L’ensemble E des points M d’affixe Z tels que

Z − ZB = 1 est la médiatrice de [ AB] Z − ZA

O ∈ E1

2

e)

L’ensemble E2 des points M d’affixe Z tels que arg(

Z − ZB π ) ≡ [2π ] est le demi-cercle (Γ) de diamètre Z − ZA 2

[AB] passant par O, privé des points A et BExercice 6 f est une application du plan qui, au point M(x ;y) associe le point M’(x’ ;y’) tel que

x' =

6 3 4 12 4 3 + x − y et y ' = − x− y 5 5 5 5 5 5
a) b) c) d) e) f n’est pas une isométrie f est un antidéplacement la droite (∆ ) d’équation 2x + 3y – 5 + 0 a pour image par f, la droite (∆ ' ) : -x + 4y + 5 = 0 f est une symétrie orthogonale d’axe (D) f n’admet pas de points invariantsExercice 7 Soit (C) la courbe plane dont un système d’équations paramétriques est : X(t) = 6acost Y(t) = a(t+2sint) (t élément de IR) a) les points M (t ) et M (t + 2π ) se correspondent dans une rotation b) les points M (t ) et M (t + 2π ) se correspondent dans une homothétie c) les points M (t ) et M (t + 2π ) se correspondent dans une translation d) M(t) et M(-t) se correspondent dans une...
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