Geometrie

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  • Publié le : 22 décembre 2010
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Chapitre 8

Géométrie élémentaire de l’espace
Objectifs
• Rappeler les différents modes de repérage dans l’espace • Rappeler les notions de produit vectoriel, de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications. • Étudier les droites, les plans et les sphères de l’espace.

Sommaire
I) Les modes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1)Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Repère orthonormal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . II) Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1) Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III) Droites, plans et sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Le cas des plans . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Le cas des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 5 5 6 7 9 9 10 13 14

désigne l’espace usuel.

I)
1)

Les modes de repérage
Repère cartésien DÉFINITION 8.1

→ → w Un repère de l’espace est la donnée d’un point O appelé origine et de trois vecteurs − , − , − u v → → → w → → wnon coplanaires appelés vecteurs de base, on note = (O, − , − , − ) et B = (− , − , − ) la base u v → u v → − , − , − sont appelés les → → w → associée. Les droites passant par O et de vecteurs directeurs respectifs, u v axes du repère et notées (Ox), (O y) et (Oz).

THÉORÈME

8.1

→ → → → → Soit − un vecteur quelconque de l’espace, il existe des réels x, y, z tels que − = x − + y − + z − a au v w − dans la base B. → et le triplet (x, y, z) est unique. Les réels x, y, z sont appelés coordonnées de a 1

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

c Fradin Patrick – http://mpsi.tuxfamily.org

Les modes de repérage

Chapitre 8 : Géométrie élémentaire de l’espace

→ → → → − Preuve: En effet, cela découle du résultat suivant : si x − + y − + z − = 0 alors x = y = z = 0 (par l’absurde : si u v wx = 0 alors les trois vecteurs de base sont coplanaires).

z

M − − =−→ → OM a − → w − → v O

− → u x

y

FIGURE 8.1: Coordonnées dans l’espace Soit M un point de l’espace, les coordonnées de M dans le repère −→ − → → w nées du vecteur OM dans la base (− , − , − ), autrement dit : u v → sont par définition, les coordon-

−→ − → → → M (x, y, z) ⇐⇒ OM = x − + y − + z − . u v w − → − →Soient A(x, y, z) et B(x , y , z ), les coordonnées du vecteur AB sont (x − x, y − y, z − z) car AB = −→ − → OB − OA . Le choix d’un repère cartésien permet d’identifier l’espace à l’ensemble
3

.

2)

Repère orthonormal
0

On choisit arbitrairement un repère d’orthogonalité de la manière suivante :

→ → w = (O, − 0 , − 0 , − 0 ), on définit alors la notion de distance et u v →

− → →Soient − (x, y, z) et b (x , y , z ) deux vecteurs de : a → → • La norme du vecteur − est − = x 2 + y 2 + z 2 . La distance d’un point A à un point B de a a − → − → la norme du vecteur AB : AB = AB . → → − → → − → − → • Les vecteurs − et b sont dits orthogonaux lorsque − + b 2 = − 2 + b 2 . a a a Une fois ce choix [arbitraire] effectué, on dit que l’espace est euclidien.

DÉFINITION 8.2

est...
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