Gestion de portefeuille

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Mathématiques Appliquées : EA Gestion de portefeuille
Quentin Boudoux, Adrien Delmotte 3 décembre 2010

Table des matières
I Stratégie ou gestion de portefeuille dynamique 2
2 3 3 4 4 6 7 8

1 Stratégie Buy and Hold 2 CPPI, gestion de portefeuille avec un coussin 2.1 Temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.3 Changement de portefeuille pour des variations de l’actif . . . . . 3 Stratégie OBPI 4 Comparaison des stratégies 5 Simulations comparatives des stratégies OBPI et CPPI

II

Partie théorique

14

6 Stratégie OBPI, maximisation de l’utilité 14 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2 Assurance Européenne . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 15 6.3 OBPI optimalité pour une assurance européenne . . . . . . . . . 16 7 Généralisation du résultat d’optimalité 17 7.1 Choix optimal de portefeuille dans le cas sans contrainte (pas d’assurance sur la valeur terminale du portefeuille) . . . . . . . . 18 7.2 Choix optimal de portefeuille dans le cas avec contrainte sur la valeur terminale du portefeuille . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 20

III

Remerciements et Bibliographie
1

22

Première partie

Stratégie ou gestion de portefeuille dynamique
Nous allons aborder dans cette étude le problème de la gestion de portefeuille. Il s’agit de maximiser un gain ou une utilité du gain et ceci avec une contrainte sur la valeur minimale du portefeuille final. Ainsi, il s’agit de mettre en place uneassurance nous garantissant un gain final K. Les stratégies présentées ici sont les stratégies Buy and Hold, CPPI (Constant Proportion Portfolio Insurance) et OBPI (Option Based Portfolio Insurance). Voici les notations utilisées dans le texte, elles seront néanmoins souvent rappelées pour permettre une meilleure compréhension. On note Vt ou Xt la valeur du portefeuille à la date t. St est la valeurde l’actif risqué à la date t et Bt est la valeur du zéro coupon à la date t. La valeur terminale du portefeuille qui nous intéresse est notée T . K est la valeur finale du portefeuille à assurer. On travaille ici sur un marché ne contenant qu’un actif risqué, un zéro-coupon et les sous-jacents de call et de put européens. La dynamique de l’actif sans rique (zéro-coupon) sera la suivante : dBt =r.Bt .dt L’actif risqué vérifiera l’équation de Black and Scholes à coefficients constants : En notant dWt un mouvement brownien, µ le drift de notre actif et σ la volatilité : dSt = St [µ.dt + σ.dWt ]

1

Stratégie Buy and Hold

Détermination du K maximal
Pour simplifier les notations, l’actif non risqué est tel que : BT = 1 Ainsi l’équation sur l’actif non risqué, nous donne Bt = er(t−T ) .Pour s’assurer une valeur final K, le portefeuille doit être constitué de K Zéros Coupons et le reste est investi dans les actifs risqués. V0 = K · B0 + (V0 − K · B0 ) (V0 − K · B0 ) · S0 =⇒ Vt = K · Bt + · St S0 S0

Le premier terme est la valeur des actifs non risqués possédés et le deuxième est (V0 − K · B0 ) la valeur des actions possédées. S0 2

On en déduit que Kmax = que l’on peutacheter.

V0 car c’est le nombre d’actifs non risqué maximum B0

Résumé
Par un calcul rapide de moyenne, on trouve (il suffit de changer de variable) : En moyenne, E(VT ) = K + (V0 − Ke−rT )eµT 2 et V ar(ST ) = (V0 − Ke−rT )2 e2µT (eσ T − 1).

2

CPPI, gestion de portefeuille avec un coussin

On a toujours Bt = er(t−T ) . On note ici Ft = Ker(t−T ) et Ct = max(Vt − Ft , 0) le coussin. Oninvestit Et = m.Ct dans les actifs risqués, où m est le facteur de risque et donc Vt − Et dans les actifs non risqués. Le portefeuille,ici, n’est pas figé et il faudra donc changer sa composition.

2.1

Temps continu

mCt dSt +(Vt −mCt )rdt. En réinjectant l’expression de dSt (dSt = St St [µ.dt + σ.dWt ]), on trouve : On a dVt = dVt = dt[Vt (mµ + (1 − m)r) − mFt (µ + r)] + m(Vt − Ft )σdWt Pour...
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