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MATHEMATIQUES

Cours et exercices de Mathématiques 2009-10 Chapitre VII- Series entieres

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Notes du cours du quatrième semestre 2009-2010

Ce document n’est pas un résumé de cours ni un manuel, il constitue seulement une aide à la prise de notes pour le cours que vous suivez. Notamment, ce document est inutilisable pour des étudiants qui n’ont pas assisté à ce cours. Il perdrait son sens car trop de démonstrations ne sont pas écrites. Il serait inefficace en l’absence des exemples qui sont traités de manière détaillée en cours

Vous devez donc noter, pour chaque propriété, l’exemple qui l’illustre et sa démonstration, si elle ne figure pas sur ce polycopié. Ce travail d’écriture permet déjà de commencer à s’approprier un concept mathématique.

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Première partie COURS

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Table des matières
I COURS
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7 Séries entières 7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Le domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Substitution d’un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Domaine de convergence uniforme . . . . . . . . . . . 7.3.2 Dérivées de la somme d’une série entière . . . . . . . 7.3.3 Primitive de la somme d’une série entière . . . . . . 7.3.4 Expression des coefficients d’une série entière en fonction de sa somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Définition de quelques fonctions de la variable complexe . . .

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