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  • Publié le : 7 décembre 2010
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Modélisation des chroniques univariées par la méthodologie de Box-Jenkins
Box and Jenkins (1976) ont évoqué une méthodologie relative à la modélisation les séries temporelles univariées au moyen des processus ARMA. Ces processus sont parcimonieux et constituent une bonne approximation de processus plus généraux pourvu que l’on se restreigne au cadre linéaire. Les modèles ARMA donnent souvent debon résultats en prévision et ont bénéficié de la vague de doute quant à l’intérêt des gros modèles économétriques.
La méthodologie de Box-Jenkins se décompose en quatre étapes:
- Identification ;
- Estimation du modèle identifié;
- Validation (ou diagnostic du modèle) du modèle choisi
- Prévision des processus (projection dans l’avenir).
En général, d’après Box-Jenkins, l’écriture de lachronique stationnaire par différenciation d’ordre d lorsqu’elle est modélisée par ARMA est : [pic] avec (t un bruit blanc.
La logique de Box-Jenkins commence par l’étape de l’indentification du processus.
• Identification
Box et Jenkins partent de leur principe de modélisation parcimonieuse c'est-à-dire le choix d’un ordre p et q le plus petit et le plus significatif parmi la classe desmodèle ARIMA susceptible d’être constituée. Suivant cette situation, on peut avoir éventuellement un AR pur ou MA pur ou ARMA(p,q)
La méthode d’identification d’un processus ARMA (choix entre AR, MA et ARMA, et choix de p et q) de Box et Jenkins est basée sur la comparaison des caractéristiques théoriques des processus ARMA à leurs équivalents empiriques (c’est-à-dire calculées sur la série observée).Les caractéristiques utilisées sont les autocorrélations simple et partielle (et éventuellement autocorrélation inverse).
On peut aussi utiliser des critères de choix de modèle, couramment appelé critères d’information. Les plus couramment utilisés sont les critères de :
- Akaïke : AIC = -2 log L + 2(p + q)
- et le critère de Schwarz : BIC = -2 logL + (p + q) Log T
Où Log L est lalog-vraisemblance du modèle ARMA(p,q) estimé et T est le nombre d’observations. On choisit alors le modèle et p et q qui minimisent ces critères.
• Estimation[1]
Les méthodes d’estimation préconisées par Box-Jenkins sont
- Maximum de vraisemblance
- Equations de Yule-Walker
- Estimation par l’algorithme de Durbin-Levinson
- Moindres carrés conditionnels et inconditionnels.
« Pourune application empirique voir cours de TP ».
• Validation du modèle choisi
Dans cette étape Box-Jenkins préconisent d’effectuer un diagnostic du modèle pour savoir si le modèle choisi est bien spécifié, ce que l’ont appelle dans le jargon économétrique la validation du modèle. Cette validation se réalise via une série des tests statistiques sur les résidus.
1- Test de redondance
Aprèsavoir estimé un modèle ARMA, on vérifie que les polynômes d’opérateur de la partie AR et de la partie MA ne possèdent pas de racine commune. Lorsque c’est le cas, on dit qu’il y a redondance et les cœfficients estimés sont instables et peuvent conduire à des prévisions erronées. Il faut alors éliminer dans le modèle ARMA la ou les variables responsables de cette redondance.
2- Test de Studentsur les paramètres
Il est intéressant de savoir s’il est possible de diminuer ou d’augmenter l’ordre de la partie autorégressive ou celle de la moyenne mobile.[2]
Le test de Student de la significativité des coefficients estimés, à un seuil de signification a%, peut apparaître la non significativité de certains cœfficients, leurs élimination du modèle conduit à la diminution de l’ordre p et/ouq.
Egalement, l’augmentation de l’ordre peut se faire par une ré-estimation du modèle à l’ordre p’>p et/ou q’>q toute en conservant sa qualité.
3- Test de bruit blanc des résidus
La distribution des résidus du modèle estimé doit être un bruit blanc[3]. La vérification de cette hypothèse au moyen de
Test de Box-Pièrce
Test de Box-Ljuing
La fonction d’autocorrélation simple et la fonction...
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