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EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ

Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage dea alors 1 est dérivable en a. g

Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I). Démontrer que la fonction v o u est dérivable sur I et pour tout x Î I : (v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x))

Exercice 3 Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue Considéronsla fonction ¦ définie sur  par : æ1ö ¦(x) = x 2 sin ç ÷ si x ¹ 0 et ¦(0) = 0 è xø Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0.

Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1].Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation
x4 + x3 - x + 1 = 0

n'a pas de solutions sur .

Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim
t ®0

sin (t ) = 1. Soit n Î . t
t ®0

Étudier la limite suivante :

lim

sin (nt ) sin(t )

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle On considère la fonction ¦ définie sur  par : r r On note C¦ sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; i , j ) 1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥. La courbe C¦ admet-elle des asymptotes horizontales ? 2. Démontrer que la droite D d'équation y = -2x 1 est asymptote oblique à C¦ en -¥. 2 ¦(x) = x2 + x + 1 - x

Exercice 8Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur  Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et préciser leur fonction dérivée. On rappelle que :
lim
h®0

cos(h) - 1 sin(h) = 0 et lim =1 h®0 h h

Exercice 9 Une bijection de  sur ]-1 ; 1[ Soit ¦ la fonction définie sur  par : 1. Démontrer que ¦ est bornée sur . 2. Étudier la parité de ¦. 3. Étudier la dérivabilitéde ¦ en 0. 4. Démontrer que ¦ définit une bijection de  sur ]-1 ; 1[. ¦(x) = x 1+ x

Exercice 10 On ne peut être dépassé par plus lent que soit. Soient ¦ et g deux fonctions dérivables sur l'intervalle I = [0 ; 1] telles que : ¦(0) = g(0) et ¦' g' sur I. Démontrer que ¦  g sur I. (On pourra étudier les variations de g - ¦)

Exercice 11 Utilisation de l'accroissement moyen pour déterminer unelimite 1. On se propose d'étudier la limite en p de la fonction ¦ définie par : 2 cos( x ) p pour x ¹ . ¦(x) = p 2 x2 Vérifier que l'on est en présence d'une forme indéterminée. En considérant l'accroissement moyen de la fonction cosinus en p , déterminer la limite ci-dessus. 2

2. Par une méthode analogue, étudier les limites de ¦ en a dans les cas suivants : ¦(x) = ¦(x) = 1+ x -1 en a = 0 xtan( x ) - 1 p en a = p 4 x4

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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Exercice 12 Deux fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fixe commun Soient ¦ et g deux fonctions continues sur le segment I = [0, 1] telles que g o ¦ = ¦ o g. Le but de l'exercice est de démontrer qu'alors, il existe un réel l de [0, 1]tel que ¦(l) = g(l). 1. Question préliminaire Soit j la fonction définie sur [0, 1] par j(x) = ¦(x) - x. Démontrer qu'il existe un réel a Î [0, 1] tel que : j(a) = 0 On a donc ¦(a) = a. On dit que a est un point fixe de ¦. Dans la suite du problème (questions 2, 3 et 4), on suppose qu'il n'existe pas de réel l dans [0, 1] tel que ¦(l) = g(l) et on déduit une contradiction. (Il s'agit d'un...
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