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Un poly de M´canique – R´sum´ des formules e e e
Lucien Xu ∼ SK 28 janvier 2009

Introduction
Ce poly, con¸u plus comme un recueil de formules que comme un cours a c pour but de servir de base pour le CF ` venir. Il peut se substituer au poly de a cours, mais ne dispense pas de s’entraˆ ıner ` calculer. a

i

Table des mati`res e
Introduction i

I

Solides ´lastiques e

1
2 3 45

1 D´formations e 2 Dynamique et contraintes 3 Comportement des mat´riaux e ´ 4 Elasticit´ lin´aire infinit´simale e e e

II

Fluides

6
7 8 9

5 Vitesse de d´formation e 6 Conservation de la masse 7 Dynamique des fluides

Les formules tr`s utiles e 10 7.1 Solides ´lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 e 7.2 Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10

III

M´canique des solides e

11

Cin´matique des corps rigides articul´s e e 12 7.3 Formules de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7.4 Vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Dynamique du corps rigide 14 7.6 Centre ettenseur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ´ 7.7 Equations de Newton et Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

ii

` TABLE DES MATIERES Les liaisons 7.8 Encastrement . . . 7.9 Sph´rique . . . . . e 7.10 Pivot . . . . . . . . 7.11 Pivot glissant . . . 7.12 Appui plan . . . . 7.13 Glissi`re . . . . . . e 7.14 Lin´aire Circulaire e 7.15 Ponctuelle . . . . . 7.16H´lico¨ e ıdale . . . . . Syst`me de corps rigides e

iii 15 15 15 15 16 16 17 17 17 17 18

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IV

M´canique des structures e

19
20 21 22 23

´ ´ R´sultante des formces, Equilibre et Equation de constitution e Matrice de rigidit´ pour une poutreisol´e e e Assemblage de plusieurs ´l´ments ee Conclusion

Premi`re partie e

Solides ´lastiques e

1

Chapitre 1

D´formations e
Rappel 1 Expression du gradient : Dp u = ∂u ⊗ ii ∂xm m=1
3

Formule 1 Le gradient de la d´formation : e F = Dp x Formule 2 Le tenseur des d´formations de Green-Lagrange : e E = = 1 T (F F − I) 2 1 (D p u + D p uT + D p uT D p u) 2

Formule 3 Pour desd´formations infinit´simales : e e ε = 1 (D p u + D p uT ) 2 1 (D x u + D x uT ) 2

2

Chapitre 2

Dynamique et contraintes
Formule 4 Tenseur des contraintes σ : T (x, t, n) = σ(x, t)(n) Formule 5 Conditions aux limites en contraintes : σ(n) = f s Formule 6 Equations fondamntales de la dynamique : Div x σ + f v = ρa et σ = σ T Rappel 2 Divergence tensorielle et coordonn´es cart´siennes : e e
3Div x σ =
i=1

∂σ (ij ) ∂xj

Formule 7 Contraintes normale σnn , tangentielle σ T , de scission τnm : σnn = (σ(n), n) , σ T = σ(n) − σnn n et τnm = (σ(n), m) Formule 8 D´viateur des contraintes : e 1 σ D = σ − T r(σ)I 3

3

Chapitre 3

Comportement des mat´riaux e
Les formules sont report´s dans le chapitre suivant. e

4

Chapitre 4

´ Elasticit´ lin´aire e e infinit´simale e´ Formule 9 Elasticit´ lin´aire isotrope – Loi de Hooke : e e ε σ = = ν 1+ν σ− T r(σ)I E E λ T r(ε)I + 2µε

Rappel 3 Relations entre (λ, µ) et (E, ν) : λ = Eν (1 + ν)(1 − 2ν) E 2(1 + ν)

µ = ´ Formule 10 Equation de Navier :

Div x (σ) + f v = ρ

∂2u ∂t2

5

Deuxi`me partie e

Fluides

6

Chapitre 5

Vitesse de d´formation e
Formule 11 Gradient des vitesses : ∆v D x...
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