Graphes et application

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Graphes et Applications Partie N : 1
Réalisé par Sifi Sami 3 octobre 2010

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1 Introduction à la théorie des graphes 1.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Représentations d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Matrice d’adjacence . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1.3.2 Matrice d’incidence sommets-arcs . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Listes d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Coloration des sommets d’un graphe : . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Un algorithme de coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Problème de plus courtchemin : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Définitions et propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Le Cas des graphes sans circuits : Algorithme de Roy (Rang). 1.5.3 Le cas où tous les poids sont positifs : Algorithme de Dijkstra 1.5.4 Le cas où les poids sont de signe quelconque : Algorithme de Ford-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Le plus courtchemin entre deux points quelconques : Algorithme de Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Affectation du personnel d’une compagnie de transport . . 1.6.2 Construction d’un réseau routier . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Application 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1. Introduction :
D’une manière générale, les graphes permettent de représenter les structures et les connexions d’un ensemble complexe en exprimant les relations entre ses éléments. Les graphes constituent donc, une méthode de penser qui permet de modéliser une grande variétés de problèmes en se basant sur l’étude des sommets et des arcs.Exemples : — La recherche d’un plus court chemin (Réseau routier, Internet...) — La distribution optimale d’un flot sur un réseau (Communication, eau potable...). — Optimisation de la compilation : Un processeur a un nombre limité de registres où il peut stocker ses données. Étant donné un certain nombre de variables utilisées dans un programme, il faut trouver un moyen d’affecter les variables dans lesregistres de façon à maximiser l’utilisation des registres et de minimiser les accès à la mémoire. Ce problème est résolu grâce à la coloration de graphes, attribuant à chaque noeud / variable une "couleur", de sorte que deux sommets adjacents (variables utilisées dans le même temps à un programme) n’ont pas la même couleur. Il s’agit d’un problème NPcomplet. — La planification d’une conférence ouexamens...(coloration de graphes). — Le parcours optimal de distribution : Le problème du postier chinois consiste à trouver un plus court chemin dans un graphe connexe non orienté qui passe exactement une fois par chaque arête du graphe et revient à son point de départ (Cycle eulérien, Théorème d’Euler : Un graphe orienté fortement connexe est Eulérien si et seulement si chacun de ses sommets estl’extrémité initiale et terminale du même nombre d’arêtes). Le problème du voyageur de commerce consiste à trouver un plus court chemin dans un graphe connexe non orienté qui passe exactement une fois par chaque 2

sommet du graphe et revient à son point de départ (Cycle Hamiltonien). — Gestion de projets : Pert.

1.2. Définition :
1. Un graphe simple G est un couple formé de deux ensembles : -Un ensemble X dont les éléments sont appelés sommets - Un ensemble A dont les éléments sont appelés arêtes On notera G = (X, A). Les éléments de A sont de type a = (i, j) avec i et j ∈ IN ∗ . (a) est l’arête d’extrémités i et j. 2. Graphe orienté : l’ordre de i et j est important. Dans ce cas les éléments de A sont appelés : arcs 3. Deux sommets sont adjacents s’ils ont un arc en commun. Deux...
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