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HEC MONTRÉAL

Méthodes Monte Carlo pour l’évaluation des paramètres de sensibilité des valeurs d’options sur plusieurs actifs sous-jacents

Mémoire présenté à HEC Montréal en vue de l’obtention du grade de Maître ès Sciences de Gestion (M.Sc.) en Ingénierie Financière

c Kadiata Kane, 2006

Sommaire

Ce mémoire traite de l’estimation des paramètres de sensibilité des produits dérivés àm dimensions et ce à partir des résultats de Broadie et Glasserman 1996 “Estimating Security Price Derivatives Using Simulation”. Dans cet article, Broadie et Glasserman présentent deux méthodes d’estimation des paramètres de sensibilité à l’aide de la simulation Monte Carlo pour des options portant sur un actif sous-jacent. Au travers de ce mémoire nous étendons ces 2 approches, la méthode destrajectoires et la méthode du ratio de vraisemblance à des produits dérivés portant sur plusieurs actifs sous-jacents en partant de la matrice de variance covariance. Pour la méthode des trajectoires, les paramètres de sensibilité sont dérivés par rapport à chacune des trajectoires possibles de la valeur de l’option tandis que pour la méthode du ratio de vraisemblance, les sensibilités sontdérivées par rapport à la fonction de densité du prix de l’option. Nous illustrons ensuite nos résultats par des applications numériques sur le cas d’une option d’échange d’un actif risqué pour un autre, d’une option panier portant sur 2 actifs risqués et enfin sur une option panier portant sur 5 actifs risqués.

Remerciements
Mes remerciements vont à l’endroit de mon professeur et directeur de mémoireBruno Remillard pour avoir encadré ce travail de ses précieux conseils. Merci d’avoir financé mon projet, d’avoir fait preuve d’une grande disponibilité et surtout d’avoir su prodiguer un encadrement de qualité. Mes remerciements à Chantal Labbé et Frank Leclerc pour avoir accepter de lire ce travail ; vos commentaires et suggestions ont permit d’en améliorer la qualité. Mes sincères remerciementsà ma famille. A mes chers parents, merci pour votre soutien moral et financier et surtout merci d’avoir pousser la paresseuse que je suis aux études. A mon frère Mamadou, tes efforts et ta persévérance m’ont permis de réaliser ce projet, merci. À Selly merci d’être le génie que tu es, Fadima et Alpha merci pour votre soutien sans faille.

Table des matières

1 Introduction

1

2 Revue de lalittérature 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Calcul des greeks lorsque des formules fermées existent . . . . . Méthodes des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes du modèle binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 6 8

Calcul de Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Méthodes Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Lienavec le mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Méthodologie 3.1

16

Définition des greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i

3.1.2 3.1.3

Vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.43.1.5

Rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2

Utilité et application des greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1 Les valeurs de sensibilité d’options pour les stratégies de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.2 Les valeurs de sensibilité d’optionspour le calcul des VaR 26

3.3

Évaluation des greeks par les méthodes de Broadie et Glasserman (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 Cadre théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Méthode des trajectoires (pathwise method) . . . . . . . 28 Méthode du rapport de vraisemblance . . . . . . . . . . 32 Résultats donnés par...
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