Pour le Vendredi 22/10/10

PCSI 3 – 10/11

MATHEMATIQUES – DEVOIR MAISON N°2
LES TROIS EXERCICES SERONT REDIGES SUR DES COPIES DOUBLES SEPAREES. SOIGNEZ LA REDACTION, VOS JUSTIFICATIONS ET LA PRESENTATION. NUMEROTEZ VOS COPIES, METTEZ VOTRE NOM SUR TOUTES VOS COPIES ET A ENCADRER VOS RESULTATS ETC… TOUS VOS CALCULS DOIVENT FIGURER SUR VOTRE COPIE. ILS DOIVENT ETRE INTRODUITS ET ETRE JUSTIFIES. Les copies ne respectant pas les consignes ne seront pas corrigées !!!

Exercice 1 : Etude d’une équation différentielle non linéaire. On s’intéresse dans cet exercice à l’équation différentielle (E) d’inconnue y et de variable x : (E) 3(y′′ + y′ )y2 + 6( y′ )2 y + y3 = e – x 1. Déterminer λ ∈ ℝ tel que la fonction x


→

eλ x soit solution de (E) sur ℝ.

2. Existe-t-il une solution de (E) qui s’annule en 0 ? 3. On suppose que y est une solution de (E). Montrer que la fonction u définie par u = y3, est solution d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants (E′) que l’on précisera. 4. Résoudre l’équation différentielle (E′) puis résoudre l’équation différentielle (E). 5. Déterminer une solution de (E) vérifiant les conditions initiales : y(0) = 1 et y′(0) = 0. Est-ce que cette solution est unique ?

Exercice 2 : Géométrie dans le plan. Le plan P est muni d’un repère orthonormé : ℛ = (O, i , j ). A tout nombre réel m, on associe l’ensemble Cm des points M du plan de coordonnées (x, y) vérifiant la relation : x2 + y2 – 4mx – 2my + 10(m – 1) = 0 Tous les éléments que l’on demande de tracer dans les questions suivantes le seront sur un même schéma. 1. Démontrer que, quelque soit le réel m, Cm est un cercle dont on précisera le centre 2. Déterminer l’ensemble E constitué des centres m m
 →  →

et le rayon Rm.

des cercles Cm lorsque m décrit ℝ. Tracer cet ensemble E.

3. Vérifier que, parmi tous les cercles Cm, il y en a un, et un seul, dont le rayon est minimal. Tracer précisément ce cercle. 4. Existe-t-il des cercles