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  • Publié le : 16 décembre 2010
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Les fonctions de référence

Lycée Stendhal ( Grenoble )

Chapitre 7 Les fonctions de références
I Rappels sur les fonctions
I1 Domaine de définition I2 Les variations I3 Parité

II Les fonctions de référence
II1 Fonctions affines II2 Fonction carré II3 Fonction inverse II4 Fonction racine carrée II5 Fonction cube

III Applications
III1Etudier les variations III2 Démontrer desinégalités III3 Résolution d'équations III4 Résoudre des inéquations

©Vincent Obaton

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Les fonctions de référence

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I Rappels sur les fonctions :
I.1 Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction f est l'ensemble des x pour lesquels f(x) existe. Exemples : a) f  x =x 2 – 3 x4 f(x) existe pour tout x ∈ ℝ donc Df = ℝ 3 b) g  x= x5g(x) existe si et seulement si x + 5 ≠ 0 ⇔ x ≠ -5 donc Dg = ℝ \{-5} ou Dg = ] - ∞;-5[ ∪ ] -5;+∞[ 4 x5 c) h  x = −2 x6 4 x5 0 h(x) existe si et seulement si −2 x6 4 x5 Il faut donc dresser le tableau de signe de R x= −2 x6 ● 4x + 5 = 0 ⇔ 4x = -5 ⇔ x = -5/4 ● -2x + 6 = 0 ⇔ -2x = -6 ⇔ x = 3 ( Valeur interdite )



x 4x+5 -2x+6 R(x)

–∞ + -

–5/4 0 0 + + +

3 + 0 || -

+∞

DoncDh = [ -5/4 ; 3 [

I.2 Les variations

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Les fonctions de référence Définition 1 : ●

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Si f est une fonction croissante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que b  a on a f(b)  f(a). Une fonction f est croissante si et seulement si les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents. Remarque : Si f est une fonctionstrictement croissante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que b < a on a f(b) < f(a).



Définition 2 : ● Si f est une fonction décroissante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que a  b on a f(a)  f(b). Une fonction f est croissante si et seulement si l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents. Remarque : Si f est une fonction strictement décroissante sur I alors ∀ a ∈ Iet b ∈ I tels que a < b on a f(a) > f(b).



Définition 3 : ● Si f est une fonction constante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que a  b on a f(a) = f(b). Une fonction f est constante si et seulement si les images sont identiques quelque soient les antécédents. Page 3 / 18

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I.3 Parité
Fonction paire :Définition : f est paire si ∀ x ∈ Df on a f(-x) = f(x) Conséquence : La courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport à (0,  ) j Fonction impaire :

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Les fonctions de référence Définition : f est impaire si ∀ x ∈ Df on a f(-x) = - f(x)

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Conséquence : La courbe représentative de la fonction f est symétrique parrapport à O( 0;0 )

II Etude des fonctions de références
II.1 Les fonctions affines
Définition : Les fonctions affines sont celles de la forme : f(x) = ax + b , a ∈ ℝ et b ∈ ℝ La courbe représentative d'une fonction affine est une droite. Vocabulaire : a se nomme le coefficient directeur de la droite représentant la fonction affine. b se nomme l'ordonnée à l'origine de la droite représentant lafonction affine. Conséquences : Ces deux nombres nous donnent des indications pour tracer la représentation graphique des fonctions affines associées. b étant l'ordonnée à l'origine alors la droite passe par le point (0 ; b ) p Si on écrit a sous forme fractionnaire alors on peut représenter la pente de la droite en q partant de l'ordonnée à l'origine, comme l'indiquent les schémas ci-dessous :Courbe représentative de la fonction affine : f(x) = 2x + 3

Courbe représentative de la fonction affine : f(x) = - 2x + 3

Domaine de définition : Pour toutes les fonctions affines, le domaine de définition est ℝ.

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Les fonctions de référence Variations : ● Si a est positif ( a > 0 ) alors la fonction f : x

Lycée Stendhal ( Grenoble ) ax+b est...
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