Hamada

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Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A = {suites croissantes}, B = {suites convergeant vers 0}, C = {suites convergentes}, D = suites admettant 0 pour valeur d adhérence et E = {suites périodiques}.

1

Topologie
Ouverts et fermés
Exercice 1 [ 01103 ] [correction] Montrer que tout fermé peut s’écrirecomme intersection d’une suite décroissante d’ouverts.

Exercice 2 [ 01104 ] [correction] On désigne par p1 et p2 les applications coordonnées de R2 définies par pi (x1 , x2 ) = xi . a) Soit O un ouvert de R2 , montrer que p1 (O) et p2 (O) sont des ouverts de R. b) Soit H = (x, y) ∈ R2 | xy = 1 . Montrer que H est un fermé de R2 et que p1 (H) et p2 (H) ne sont par des fermés de R. c) Montrer quesi F est fermé et que p2 (F ) est borné, alors p1 (F ) est fermé.

Exercice 7 [ 01110 ] [correction] On note R(N) l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. a) Montrer que R(N) est un sous-espace vectoriel de ∞ (R). b) Est-il ouvert ? c) Est-il fermé ?

Exercice 8 [ 01111 ] [correction] Montrer que l’ensemble des polynômes réels de degré n scindés à racines simples estune partie ouverte de Rn [X]. Exercice 9 [ 01112 ] [correction] Soient E1 et E2 deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaireassocié. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que x− a+b < x−a 2

Exercice 3 [ 01105 ] [correction] Montrer que si un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel normé E est ouvert alors F = E.

Exercice 4 [ 01106 ][correction] Soient A, B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E telles que d(A, B) = inf d(x, y) > 0.
x∈A,y∈B

Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A ⊂ U et B ⊂ V .

Exercice 5 [ 01107 ] [correction] Soit E une espace vectoriel normé. a) Soient F une partie fermée de E et x ∈ E. Montrer que d(x, F ) = 0 ⇔ x ∈ F . b) Soient F et G deux fermés de E disjoints.Montrer qu’il existe U et V ouverts tels que F ⊂ U, G ⊂ V et U ∩ V = ∅.

b) Soit F un fermé non vide de Rn et x ∈ Rn . Montrer qu’il existe a ∈ F tel que x − a = inf x − y .
y∈F

Exercice 6 Centrale MP [ 01108 ] [correction] Soit E le R-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme : u ∞ = sup |un |.
n∈N

On supposera d’abord que F est borné avant d’étudier le cas général. c) SoitA un convexe fermé non vide de Rn . Montrer qu’il existe un unique a ∈ A tel que x − a = inf x − y .
y∈A

On note a = P (x) ce qui définit une application P : Rn → A appelée projection sur le convexe A.

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Enoncés Exercice 16 X MP [ 03037 ] [correction] Caractériser dans Mn (C) les matrices dont la classe de similitude est fermée. Mêmequestion avec R au lieu de C

2

d) Montrer que s’il existe a ∈ A tel que (x − a | y − a) 0 pour tout y ∈ A, on a a = P (x). e) On suppose qu’il existe un y ∈ A tel que (x − P (x) | y − P (x)) > 0. En considérant les vecteurs de la forme ty + (1 − t)P (x) avec t ∈ [0, 1], obtenir une contradiction. f) Déduire de d) et e) que a = P (x) si, et seulement si, a ∈ A et (x − a | y − a) 0 pour tout y∈ A. 2 g) Etablir que pour tout x, y ∈ Rn , (x − y | P (x) − P (y)) P (x) − P (y) . En déduire que P est continue.

Exercice 17 [ 03066 ] [correction] Soient E = C ([0, 1] , R) normé par A=

.



et la partie
1

f ∈ E/f (0) = 0 et
0

f (t) dt

1

Exercice 11 Centrale MP [ 02415 ] [correction] Soit A une partie non vide de R telle que pour tout x réel il existe un et un seul y...
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