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Fiche Cours

Nº : 32002

MATHEMATIQUES

Série S

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

Fiche 2 : les fonctions
Plan de la fiche
I - Limites, comportement asymptotique II - Dérivation III - Continuité

I - Limites, comportement asymptotique
Définitions Une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à droite ; • tout intervalleillimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ .
+∞ x → +∞

Une fonction f a pour limite + ∞ en − ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à gauche ; • tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative etde valeur absolue suffisamment grande. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ .
−∞ x → −∞

Une fonction f a pour limite − ∞ en + ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à droite ; • tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande. On note lim f = − ∞ ou lim f (x ) = − ∞ .
+∞ x → +∞

Unefonction f a pour limite − ∞ en − ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à gauche ; • tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue suffisamment grande. On note lim f = − ∞ ou lim f (x ) = − ∞ .
−∞ x → −∞

Une fonction f a pour limite un réel en + ∞ lorsque : • la fonction f estdéfinie sur un intervalle illimité à droite ; • tout intervalle ouvert contenant contient aussi toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande. On note lim f =  ou lim f (x ) =  .
+∞ x → +∞

Une fonction f a pour limite un réel en − ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à gauche ; • tout intervalle ouvert contenant contient aussitoutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue suffisamment grande. On note lim f =  ou lim f (x ) =  .
−∞ x → −∞

Une fonction f a pour limite + ∞ en a réel lorsque : • la fonction f est définie soit sur un intervalle qui contient a, soit sur un intervalle ouvert dont a est une borne ; • tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeursprises par la fonction, la variable étant suffisamment proche de a. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ .
a x→a

Une fonction f a pour limite − ∞ en a réel lorsque : • la fonction f est définie soit sur un intervalle qui contient a, soit sur un intervalle ouvert dont a est une borne ; • tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étantsuffisamment proche de a. On note lim f = − ∞ ou lim f (x ) = − ∞ . x→a a Une fonction f a pour limite un réel en a réel lorsque : • la fonction f est définie soit sur un intervalle qui contient a, soit sur un intervalle ouvert dont a est une borne ;
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Fiche Cours

Nº : 32002

MATHEMATIQUESSérie S

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

• tout intervalle ouvert contenant contient aussi les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment proche de a. On note lim f =  ou lim f (x ) =  . a
x→a

Asymptotes • Asymptote horizontale : lorsque lim f =  ou lim f =  ( réel), la courbe représentative de f admet la droite d’équation y = +∞ −∞ pour asymptote horizontale. •Asymptote verticale : lorsque lim f = + ∞ ou lim f = − ∞ (a réel), la courbe représentative de f admet la droite d’équation x = a a a pour asymptote verticale. • Asymptote oblique : lorsque lim ( f (x ) − (α x + β)) = 0 ou lim ( f (x ) − (α x + β)) = 0 , la courbe représentative de f admet la x → −∞ x → +∞ droite d’équation y = αx + β pour asymptote oblique.  Méthode : « Montrer qu’une droite...
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