Hotelling (1929)

Fr´d´ric Gannon e e Hotelling (1929) : Stability in competition.

Probl´matique e

Localisation d’´quilibre de deux vendeurs se faisant e concurrence en prix. Sur un espace de caract´ristiques uni-dimensionnel - une ligne e - de longueur finie l (norm´e ` 1 par la suite) e a Jeu en deux ´tapes, dans lequel les deux vendeurs choisissent e en premi`re ´tape leur localisation avant de fixer leur prix e e

Espace de localisation

Hypoth`ses e

deux vendeurs, A et B bien indiff´renci´ e e coˆt de production nul u r´partition uniforme des N (N grand) consommateurs sur la e ligne ´lasticit´-prix de la demande nulle : chaque consommateur e e demande une seule unit´ du bien. e pas de limitation de la capacit´ de production - toute la e demande est servie.

Notations
On note : xA et xB les localisations des deux vendeurs sur la droite de dimension unitaire, avec xA ≤ xB . pi , le prix affich´ par le e vendeur i = A, B, pi (x) le prix ”g´n´ralis´” auquel un e e e consommateur localis´ en x ≥ 0 acquittera l’unit´ du bien e e aupr`s du vendeur i. Soit : e pi (x) = pi + t · d (x, xi ) o` d (x, xi ) d´signe la distance entre le consommateur et le u e vendeur i.

Phase 1

Ce jeu s´quentiel se r´sout selon la logique de l’induction e e r´trograde (”backward induction”), qui consiste ` partir de la e a derni`re ´tape pour ”remonter” les ´tapes ant´rieures. e e e e Explicitement, cela consiste d’abord ` d´terminer les meilleures a e r´ponses en prix de chaque vendeur au prix de l’autre, contingentes e aux localisations xA et xB . Ces meilleures r´ponses permettent de e trouver les valeurs d’´quilibre des prix pA et pB pour un couple e quelconque (xA , xB ), not´s pA (xA , xB ). e ∗

Phase 2

Ensuite, on r´sout le sous-jeu de la premi`re ´tape, en reportant e e e dans la fonction de profit de chacun des deux vendeurs les deux prix d’´quilibre pi∗ (xA , xB ) venant d’ˆtre calcul´s. La variable e e e strat´gique du vendeur i = A, B est sa