Algèbre. Chapitre 15.
La programmation linéaire.
Il s’agit de maximiser (ou de minimaliser) une fonction dite économique tout en respectant des contraintes : des équations ou des inéquations larges.
Les contraintes et la fonction économique sont des expressions polynomiales du premier degré.
Les variables sont réelles positives.
1 La résolution graphique.
Elle n’est praticable que si le nombre de variables est inférieur ou égal à 2.
Exemple 1.
Une personne a la possibilité de vendre 500 cartes postales et 20 guides touristiques.
Elle constitue 2 lots publicitaires : lot N°1 : 1 guide et 10 cartes postales ; lot N°2 : 1 guide et 50 cartes postales.
Son bénéfice unitaire par lot vendu est de 6 F par lot N°1 et de 10 F par lot N°2.
Combien faut-il constituer de lots de chaque type pour maximiser le bénéfice total ?

Les variables sont le nombre Q1 de lots N°1 et le nombre Q2 de lots N°2.
Elles sont entières et positives.
La fonction économique à maximiser est le bénéfice B = 6Q1+10Q2.
Les contraintes sont : Q1+Q2  20 et 10Q1+50Q2  500.

Tracer chacune des droites d’équations Q1 = 0 ; Q2 = 0 ; Q1+Q2 = 20 ; Q1+5Q2 = 50.
Elles bordent un polygone des contraintes.
Les contraintes sont respectées sur les points à coordonnées entières intérieurs à ce polygone, et sur eux seulement.

Tracer la droite d’équation 3Q1+5Q2 = 0.
Les parallèles à cette droite sont les droites d’équations du type 3Q1+5Q2 = b (b réel).
On cherche celle d’entre elles contenant un point respectant les contraintes pour laquelle b est maximal.
Réponse : Q1 = 13 ; Q2 = 7.
Exemple 2.
L’entreprise Simco fabrique deux modèles d’appareils électroménagers. Le responsable de la fabrication possède l’information suivante sur le nombre d’heures requises pour fabriquer chaque modèle ainsi que le temps disponible à chaque atelier.

Modèles
Elec-100 Elec-200

Ateliers
Nombre d’heures requises
Temps disponible
Assemblage
Vérification
Empaquetage
3