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Intégrales doubles et triples

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Sommaire
1. Intégrales doubles 1.1. Descrition hiérarchisée de ∆. 1.2. Intégrale double . . . . . . . . 1.3. Théorème de Fubini . . . . . . 1.4. Un cas particulier . . . . . . . 1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . 1.6. Changement de variables . . 1.7. Coordonnées polaires . . . . . 2. Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 3. Calculs divers 3.1. Aire ou volume de ∆ 3 3.2. Masse . . . . . . . . . 3 3.3. Centre d’inertie . . . 4 3.4. Moments d’inertie . . 4 5 4. Avec Maple

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Description hiérarchisée de ∆ Changement de variables . . Coordonnées cylindriques . . Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5 5 6 6 7 7 7 7 8 8

Figures
1 2 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . Inversion de l’ordre des intégrations . . 2 3

3 4 5 6

Coordonnées polaires . . . Intégrale triple . . . . . . . Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. .. .

. . . .

. . . .

. . . .

5 6 7 8

Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l’intégrale • d’une fonction continue de 2 variables sur une partie fermée bornée du plan, ou • d’une fonction continue de 3 variables sur une partie fermée bornée de l’espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique et tous les théorèmes seront admis.

1.Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d’une partie fermée bornée de R2
Définition : On appelle description hiérarchisée du domaine ∆ une partie fermée bornée de R2 : l’existence de 2 réels a et b et de 2 applications continues sur [ a,b], notées u et v tels que a < b et ∀ x ∈ [ a,b], u( x) v( x), avec

( x,y) ∈ ∆ ⇔

x ∈ [ a,b] y ∈ [u( x),v( x)]

Ce qui peut s’illustrer par la figure1, page suivante. On fera attention à ne pas commettre l’erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2 variables independament les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple : On va prendre le domaîne du plan défini par : y 0, x y, Il est élémentaire de faire une figure de ce domaîne, qui est un triangle. x 1. x ∈ [0,1] y ∈ [0,x]

En travaillant surcette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :

Cours de Spé T.S.I.

c Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr

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Intégrales doubles et triples

∆ v(x)

u(x)

O a x b

Figure 1 – Intégrale double : description hiérarchisée du domaîne

1.2. Intégrale double de f continue sur ∆, un fermé borné de R2
Définition : fcontinue sur ∆, un fermé borné de R2 , si on dispose d’une description hiérarchisée de ∆, on appelle intégrale double de f sur ∆ :
b v( x) u( x)

I=


f ( x,y) dx dy =

a

f ( x,y) dy

dx

En un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboitées   x 0   Exemple : On va intégrer la fonction ( x,y) → f ( x,y) = xy sur D : y 0    x+y 1 On cherched’abord une description hiérarchisée du domaîne :
1 1− x 0

x ∈ [0,1] y ∈ [0,1 − x]

, ce qui donne :

I= I=
0

D 1

xy dx dy =

0

xy dy dx
1 1

x (1 − x)2 dx = 2

− x (1 − x)3 6

+
0 0

(1 − x)3 (1 − x)4 dx = − 6 24

1

=
0

1 24

1.3. Théorème de Fubini : inversion des bornes
Théorème : Si on a par ailleurs : alors :
b v( x) u( x) d β( y) α ( y)

( x,y) ∈ ∆ ⇔y ∈ [c,d] x ∈ [α ( y) ,β ( y)]

avec c < d et ∀ y ∈ [c,d], α ( y)

β ( y ),

I=


f ( x,y) dx dy =

a

f ( x,y) dy

dx =

c

f ( x,y) dx

dy

Ceci est illustré sur la figure 2, page suivante. On peut changer l’ordre d’intégration, le calcul est différent, mais le résultat est le même.
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