Intégrales doubles et triples

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Sommaire
1. Intégrales doubles 1.1. Descrition hiérarchisée de ∆. 1.2. Intégrale double . . . . . . . . 1.3. Théorème de Fubini . . . . . . 1.4. Un cas particulier . . . . . . . 1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . 1.6. Changement de variables . . 1.7. Coordonnées polaires . . . . . 2. Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 3. Calculs divers 3.1. Aire ou volume de ∆ 3 3.2. Masse . . . . . . . . . 3 3.3. Centre d’inertie . . . 4 3.4. Moments d’inertie . . 4 5 4. Avec Maple

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Description hiérarchisée de ∆ Changement de variables . . Coordonnées cylindriques . . Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 6 6 7 7 7 7 8 8

Figures
1 2 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . Inversion de l’ordre des intégrations . . 2 3

3 4 5 6

Coordonnées polaires . . . Intégrale triple . . . . . . . Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques .

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5 6 7 8

Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l’intégrale • d’une fonction continue de 2 variables sur une partie fermée bornée du plan, ou • d’une fonction continue de 3 variables sur une partie fermée bornée de l’espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique et tous les théorèmes seront admis.

1.

Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d’une partie fermée bornée de R2
Définition : On appelle description hiérarchisée du domaine ∆ une partie fermée bornée de R2 : l’existence de 2 réels a et b et de 2 applications continues sur [ a,b], notées u et v tels que a < b et ∀ x ∈ [ a,b], u( x) v( x), avec

( x,y) ∈ ∆ ⇔

x ∈ [ a,b] y ∈ [u( x),v( x)]

Ce qui peut s’illustrer par la figure 1,