Inégalités

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Inégalités : petit recueil

Thibaut Allemand 6 mars 2007
L'analyse, ce n'est que des inégalités...

Table des matières
1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Inégalités pour les enfants

Inégalité de Young . . . . . . . . . Quelques inégalités logarithmiques Théorème des accroissements nis Inégalité de Taylor-Lagrange . . . Inégalité de Cauchy-Schwarz . .. .

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1

1 2 4 6 6

2

Inégalités pour les adolescents

Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Markov ou Bienaimé-Tchebytchev . Inégalité de Young pour la convolution . . . . . Inégalité dePoincaré . . . . . . . . . . Injections de Sobolev . . . . . . . . . . Inégalité de Csiszár-Kullback . . . . . Inégalité de Nash . . . . . . . . . . . . Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 7 . 8 . 9 . 10 . 10 . 11 . . . . .
13

7

3

Inégalités pour adultes

13 15 16 16 17

1

Inégalités pour les enfants

1.1 Inégalité de YoungIl s'agit d'une inégalité assez élémentaire, mais souvent utile lorsqu'on doit eectuer des majorations nes et/ou astucieuses.
Soit 1 < p < +∞. Soit p tel que Soient a, b ∈ (0, +∞). Alors
Théoreme 1.1.
1 p 1 p

+

= 1 (i.e. p =

p p−1

).

ab ≤

1 p 1 a + bp . p p

1

Démonstration. Il s'agit simplement d'utiliser la concavité du logarithme :
log 1 p 1 a + bp p p ≥ 1 1 log ap+ log bp = log ab, p p

et on a le résultat voulu en passant à l'exponentielle.
Remarque 1. Un cas particulier très utilisé est le cas p = p = 2 ; on obtient
|ab| ≤ 1 2 (a + b2 ). 2

Cette inégalité peut se généraliser de la manière suivante : si Φ : Rn → R ∪ {+∞} est une fonction donnée, on dénit sa transformée de Legendre par
Φ∗ (x) = sup ((x|y) − Φ(y)) .
y∈Rn

On a alors :
∀x, y ∈R,

(x|y) ≤ Φ(x) + Φ∗ (y).

1 1 On vérie aisément que si p ∈ [1, +∞[ et si Φ(x) = p |x|p , alors Φ∗ (y) = p |y|p , 1 1 où p + p = 1, et on retrouve l'inégalité de la proposition précédente. D'autre part, si Φ(x) = x log x − x, alors Φ∗ (y) = ey , d'où on tire l'inégalité de Young logarithmique

∀x, y ∈ R+ ,

xy ≤ (x log x − x + 1) + (ey − 1).

1.2 Quelques inégalités logarithmiques
Unepremière inégalité élémentaire :
Proposition 1.2.

Soit z un réel strictement positif. Alors
log z ≤ z − 1.

Cette inégalité est graphiquement évidente, et sa démonstration repose sur la concavité du logarithme : il est en-dessous de toutes ses tangentes, en particulier de la droite d'équation y = x − 1. A l'aide de cette inégalité, on démontre l'inégalité suivante :
Proposition 1.3.Soient deux réels x, y > 0. On a l'inégalité suivante :
x log √ x √ +y−x≥ x− y y
2

≥ 0.

Démonstration. L'inégalité qu'on veut montrer (celle de gauche, évidemment) est équivalente à l'inégalité suivante, en divisant par x :
log x y + −1≥ y x 1− y x
2

,

qui est elle-même équivalente, en développant le membre de droite, à
log x ≥2−2 y y , x

2

ou encore i.e.

1 y log ≤ 2 x logy ≤ x

y − 1, x y − 1. x

En posant z =

y , notre inégalité est donc équivalente à x log z ≤ z − 1,

qui est on ne peut plus vraie. Montrons à présent une autre inégalité utilisant le logarithme.
Proposition 1.4.

Soient x et y deux réels strictement positifs. Alors on a
√ √ (x − y)(log x − log y) ≥ ( x − y)2 .

Démonstration. En mettant y en facteur et en posant z = x , il sut...