inegalite de holder

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  • Publié le : 11 janvier 2015
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Soient

S un espace mesuré,
p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »

f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S).
Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme estmajorée naturellement :


Plus généralement1, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q.

De plus, lorsque p et q sont finis, il ya égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α|f|p = β|g|q p.p.

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Deuxdémonstrations
Exemples[modifier | modifier le code]
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert.Dimension finie
Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et yde ℝn (ou de ℂn), l'inégalité


Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour lanorme ℓp : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites
L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (xk) et (yk)sont respectivement dans les espaces de suites ℓp et ℓq, alors la suite « produit terme à terme » (xk yk) est dans ℓ1.

Cas extrémal[modifier | modifier le code]
Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q =1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et f ∈ Lp(S).

Si p < +∞, alors

Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞(ce qui est vrai dès que μ est σ-finie3), alors

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Démonstration2
Remarques sur le cas p = +∞

Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte...