Soient

S un espace mesuré, p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »

f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S).
Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement :

Plus généralement1, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q.

De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α|f|p = β|g|q p.p.

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Deux démonstrations
Exemples[modifier | modifier le code]
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert.

Dimension finie
Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝn (ou de ℂn), l'inégalité

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme ℓp : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites
L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (xk) et (yk) sont respectivement dans les espaces de suites ℓp et ℓq, alors la suite « produit terme à terme » (xk yk) est dans ℓ1.

Cas extrémal[modifier | modifier le code]
Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et f ∈ Lp(S).

Si p < +∞, alors

Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie3), alors

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Démonstration2
Remarques sur le cas p = +∞

Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte