Inference statistique

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e Ensimag - 2`me ann´e e

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Statistique Inf´rentielle Avanc´e e e
Notes de cours Olivier Gaudoin

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Table des mati`res e
1 Introduction 2 Concepts de l’inf´rence statistique e 2.1 Le mod`le statistique . . . . . . . . . . . . e 2.2 Mod`le param´trique ou non param´trique e e e 2.3 Fonction de vraisemblance . . . . .. . . . 2.4 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exhaustivit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6 La famille exponentielle . . . . . . . . . . 7 9 9 10 11 13 14 18 23 23 23 27 28 29 30 32 33 37 37 37 41 41 44 44 44 46 49 49 49 50 55 56

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3 Estimation param´trique optimale e 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 R´duction de la variance . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Compl´tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4 L’estimation sans biais et de variance minimale 3.5Information de Fisher et efficacit´ . . . . . . . . e 3.5.1 Score et matrice d’information . . . . . . 3.5.2 Information et exhaustivit´ . . . . . . . e 3.5.3 Borne de Cramer-Rao et efficacit´ . . . . e

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4 Maximum de vraisemblance et estimation bay´sienne e 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propri´t´s asymptotiques de l’estimateur de maximum de ee 4.3 Intervalles de confiance asymptotiques . . . . . . . . . . 4.3.1 Cas d’un param`tre r´el . . . . . . . . . . . . . . e e 4.3.2 Cas d’unparam`tre vectoriel . . . . . . . . . . . . e 4.4 Estimation bay´sienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4.1 Principe de la m´thode . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4.2 Exemple du contrˆle de qualit´ . . . . . . . . . . o e 5 Tests d’hypoth`ses optimaux e 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.3 Tests d’hypoth`sessimples . . . . . . . . . . . e 5.4 Tests d’hypoth`ses composites . . . . . . . . . e 5.5 Test du rapport des vraisemblances maximales

. . . . . . . . . vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES 59 59 59 64 65 65 65 67 67 67 68 68 69 69 70 70 71 73 74 74 76 77 77 78 83 83 84 85 87 91 91 92 94 95 95 97 101 101 102 102 104 105

6 Estimation non param´trique de quantit´s r´elles e e e 6.1 Les outils de la statistique non param´trique . . . . e 6.1.1Statistiques d’ordre et de rang . . . . . . . . 6.1.2 Loi de probabilit´ empirique . . . . . . . . . e 6.2 Estimation de l’esp´rance d’un ´chantillon . . . . . e e 6.2.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 6.3 Estimation de la variance d’un ´chantillon . . . . . e 6.3.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Intervalle deconfiance . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Lien entre moyenne et variance empiriques . 6.4 Estimation des moments de tous ordres . . . . . . . 6.5 Estimation des quantiles . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Propri´t´s des quantiles empiriques . . . . . ee 6.5.2 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 6.6 Lois asymptotiques des extrˆmes . . . . ....
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