Notes de cours de l'ISIMA, première année http://www.isima.fr/∼leborgne Interpolation polynomiale, intégration numérique, résolution numérique d'équations diérentielles
Gilles

Leborgne

5 juin 2012

Table des matières
1 Interpolation polynomiale

3

1.1

Introduction à l'interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Division euclidienne

5

1.2.3

Théorème de Weierstrass

1.3

Polynômes de Lagrange

1.4

Polynômes de Newton

1.5

* Polynômes d'Hermite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.1

Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 1 et des splines . . . . . . . . . . .

10

1.5.2

Exemple : vers la construction d'éléments nis

11

1.5.3

Exemple : vers la formule d'intégration de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.4

Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6

Points équidistants : les oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7

* Remarque négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8

* Erreur d'interpolation pour la norme

1.9

Polynômes de Chebyshev

||.||∞

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.10 * Moindres carrés . . . . . . . . .