integral
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1Exercice sur les intégrales
2
Exercice 15 : les intégrales de Wallis π 2
On pose In =
sinn xdx
0
1) Calculer I0 et I1
2) Montrer que la suite (In ) converge
3) Etablir une formule de récurrence entre In et In−2
4) Montrer que le produit (n + 1) In In+1 est constant
5) Calculer lim In
In
lim
lim
n→+∞ In+1
n→+∞
√
n→+∞
nIn
6) Calculer I2n et I2n+1 sous forme de produit et en déduire une suite de rationnels convergeant vers π
2.1
Correction de l'exercice 15
1) I0 =
π
2
0
dx = π , I1 =
2
On pose u =
Or
π
2
0
π
2
π
2
0
π
−π
2
2
π
−0
2
− x I2 =
cos2 udu +
π
2
0
π
π
2
2 sin xdx = [− cos x]0 = 1 I2 =
sin2 xdx =
sin2 π 2
0
π
2
− u (−du) =
π
2
0
cos2 x + sin2 x dx =
sin2 xdx
0
cos2 udu π 2
dx =
0
π
2
= 2I2
I2 peut être calculée également à l'aide de la formule de récurrence trouvée en 2)
Donc I0 =
π
2
I1 = 1 I2 =
π
4
2) On cherche à montrer que la suite (In ) est décroissante et minorée a n de montrer qu'elle converge. pour x ∈ 0, π
2
on a 0
sin x
1
en multipliant par sinn x, on obtient pour x ∈ 0, π
2
Donc, en intégrant sur 0, π , on obtient : 0
2
D'où 0
In+1
π
2
0
on a 0
sinn+1 x π 2
sinn+1 xdx
0
sinn x
sinn xdx
In
La suite (In ) est décroissante et minorée par 0, donc elle converge .
3) In =
π
2
0
sinn xdx =
π
2
0
sinn−1 x sin xdx
On intègre par partie : In =
π
2
0
n−1
sin x sin
n−1
xdx = − cos x sin
x
π
2
+
0
In = (n − 1)
Donc ∀n
0
1 − sin2 x sinn−2 xdx = (n − 1)
2 In =
π
2
0
n−1 n In−2
1
sinn−2 xdx −
cos x (n − 1) cos x sinn−2 xdx
0
=0 pour n 1 π 2
π
2
pour n 2 π 2
0
sinn xdx = (n − 1) (In−2 − In )
4) pour n
In In+1 =
In = n−1 In−2 n en multipliant membre à membre, on a : n In+1 = n+1 In−1
2