Int´egration et calcul de primitives
C. Ducourant
September 13, 2007

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Int´ egrale d’une fonction continue

•D´efinition :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b].
Le r´eel not´e

b a f (x)dx

est appell´e int´egrale de a `a b de f .

•Signe de l’int´egrale :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b.
- Si f est positive sur [a,b], ⇒
- Si f est n´egative sur [a,b], ⇒

b a f (x)dx

≥0

b a f (x)dx

≤0

•Int´egrale et Aire :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b] et soit (Cf ) sa courbe repr´esentative.
Soit (D), l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (Cf ) et les droites d’´equation x=a et x=b. • Si f est toujours positive sur [a,b] :
• Si f est toujours n´egative sur [a,b] :
• Si f a un signe variable sur [a,b] :

b a f (x)dx b a f (x)dx b a f (x)dx

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= aire(D) (unit´es d’aire)
= −aire(D)

= aire(D1) − aire(D2) + aire(D3)

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Propri´ etes des int´ egrale •Relation de chasle :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I. Pour tout r´eel a, b, et c de I : b a f (x)dx

+

c b f (x)dx

=

c a f (x)dx

•Lin´earit´e de l’int´egrale :
Soient f et g deux fonctions d´efinies et continues sur un intervalle I contenant a et b. Pour tous r´eels α et β on a : b a [αf (x)

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+ βg(x)]dx = α

c a f (x)dx

+β

c a f (x)dx

Int´ egrales et Primitives

•D´efinition d’une primitive :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute application F d´erivable sur I telle que f soit l’application d´eriv´ee de F sur I.
F est primitive de f sur I ⇔ ∀x ∈ I, F (x) = f (x)
Par exemple:
F : x → x3 est une primitive de f : x → 3x2 surR
Mais
G : x → x3 − 12 est aussi une primitive de f.
⇒ on dit que F est une primitive de f sur R On note l’ensemble des primitives de la fonction f : f (x)dx = F (x) + C
En particulier :
(ax + b)dx = a1 F (ax + b) + C
•Calcul d’une int´egrale `a l’aide d’une primitive :