integrmultcor_2
3026 mots
13 pages
Exercices - Intégrales multiples : corrigéIntégrations successives
Exercice 1 - - L2/Math Spé On commence par écrire le domaine d’une meilleure façon. On a en effet :
(x, y) ∈ D ⇐⇒ x ∈ [0, 1] et 0 ≤ y ≤ 1 − x.
a) Dans ce cas :
1−x
1
f (x, y)dxdy =
D
(x2 + y 2 )dydx
0
0
y3 x y+
3
1
1−x
2
=
0
0
(1 − x)3 dx 3
0
1
4x3
1
−
=
+ 2x2 − x + dx 3
3
0
1 2 1 1
= − + − +
3 3 2 3
1
.
=
6
1
=
x2 (1 − x) +
b) On a alors :
1
1−x
f (x, y)dxdy =
D
0
1
=
0
1
=
0
=
(x2 y + xy 2 )dydx
0
x2 y 2 xy 3
+
2
3
1−x
dx
0
x2 (1 − x)2 x(1 − x)3
+
2
3
dx
1
.
30
Exercice 2 - - L2/Math Spé 1. Si (x, y) ∈ D, on a y ≥ 0 et y − 1 ≤ x ≤ 4 − 2y.
D’autre part, pour que cette inégalité ait un sens, on doit avoir y − 1 ≤ 4 − 2y =⇒ y ≤ 1, et donc on a l’inégalité 0 ≤ y ≤ 5/3. On obtient donc :
5/3
4−2y
f (x, y)dxdy =
D
=
=
http://www.bibmath.net
xdx
0
y−1
5/3
1
2 0
275
.
54
(4 − 2y)2 − (y − 1)2 dy
1
Exercices - Intégrales multiples : corrigé
2. On a : x 1
x + ydydx
f (x, y)dxdy =
D
x2
0
y2 xy +
2
1
=
0
3
=
.
20
3. On déduit de la définition de D l’inégalité 0 ≤ y ≤
π
2x , π 2x
2
f (x, y)dxdy =
D
1
x x2 et on obtient :
cos(xy)dydx
0
2
1 sin(xy) x
1
2 1
=
dx
1 x
= ln(2).
=
π
2x
dx
0
4. Le domaine s’écrit
1−x
.
1+x
Puisqu’il est nécessaire que 1 − x ≥ 0, on a forcément x ≤ 1. On en déduit : x ≥ 0, y ≥ 0, y(1 + x) ≤ 1 − x =⇒ y ≤
1−x
1+x
1
f (x, y)dxdy =
D
0
0
1
1
2
=
x
0
xydydx
1−x
1+x
2
dx
On décompose la fraction en éléments simples : x(1 − x)2
8
4
=x−4+
−
.
2
(1 + x)
1 + x (1 + x)2
On trouve : f (x, y)dxdy =
D
1 x2
4
− 4x + 8 ln (1 + x) +
2 2
1+x
1
0
1
2
1
=
− 4 + 8 ln(2) + 2 − 4
2
11
= 4 ln(2) − .
4
5. On a :
3
5−x
f (x, y)dxdy =
D
1
2
3
−
=
1
=
http://www.bibmath.net
1
2
dy
(x + y)3
1
1
−
25 (x + 2)2
2
.
75
2
Exercices - Intégrales multiples : corrigé
Exercice 3 - - L2/Math Spé Il suffit de raisonner par intégrations successives, en remarquant que, si −1 ≤ x ≤ 1, on a x2 ≤ 4 − x3 . On a donc :
4−x3
1
dydx
aire