ECO7036
Econom´etrie

Universit´ e du Qu´ ebec ` a Montr´ eal ´
Ecole
de Gestion
D´
epartement des sciences ´ economiques Professeur: Alain Guay
Session: hiver 2007
Examen Intra

1. D´efinissez les concepts suivants: (25 pts)
(a) La puissance d’un test.
(b) La statistique t.
(c) Le coefficient de d´etermination (R2 ).
(d) La convergence en probabilit´e.
(e) La borne de Cramer-Rao.
2. Supposons le mod`ele lin´eaire classique: (25 pts)
Y = Xβ + o` u X est une matrice T x N , E( ) = 0 et E( ) = σ 2 I o` u I est une matrice identit´e de dimension N x N .
(a) D´erivez l’estimateur de β obtenu en minimisant le crit`ere des moindres carr´es ordinaires. (b) D´emontrez que cet estimateur est sans biais et d´erivez sa matrice de variancecovariance.
(c) D´emontrez qu’en pr´esence d’une constante dans la r´egression, l’estimateur des moindres carr´es ordinaires de cette constante est l’estimateur lin´eaire sans biais
`a variance minimale.
(d) D´emontrez que l’estimateur des moindres carr´es ordinaires de β est convergent en probabilit´e.
(e) D´emontrez que l’estimateur des moindres carr´es ordinaires de β est asymptotiquement normal.

3. Supposons le mod`ele suivant: (25 pts)

yt = α0 + α11I{t>T π} + t . o` u t = 1, · · · , T , T=100, π = .5 et 1I{t>T π} est une fonction indicatrice prenant la valeur 1 si {t > T π} et 0 autrement. La matrice de variance-covariance de t est σ 2 I.
(a) Interpr´etez ce mod`ele en termes de changement structurel du ou des param`etres du mod`ele.
` l’aide du concept de projection partielle d´ecoulant du Th´eor`eme de Frisch(b) A
Waugh, montrez que les estimateurs des moindres carr´es ordinaires de α0 et α1 sont donn´es par: α ˆ0 =

1 50 yt 50 t=1

et α ˆ1 =

1 50
1 100 yt − yt .
50 t=51
50 t=1

(c) Montrez que ces estimateurs sont sans biais.
(d) D´ecrivez deux approches pour effectuer un test de changement structurel sur ce mod`ele en sp´ecifiant explicitement l’hypoth`ese nulle.
(e) Donnez les deux statistiques de tests correspondantes aux