Chapitre 2: espaces vectoriels
Soit K un corps Un K – espace vectoriel est un ensemble muni de deux lois: - une loi interne V x V ------> V (u,v) |-------> u + v - une loi externe K x V ------>V (λ,v) |-------> λ ⋅ v telles que les axiomes suivants sont satisfaits: 1) (V,+) est un groupe abélien 2) (λ + µ)⋅v = λv + µv 3) (λ⋅µ)v = λ(µ⋅v) ∀ λ,µ ∈ K et ∀ v, w ∈ V 4) λ(v + w) = λv + λw 5) 1K⋅ v = v Les éléments u, v, w de V sont appelés des vecteurs Les éléments λ, µ,… de K sont appelés des scalaires Si v ∈ V et si µ ∈ K, alors le vecteur λ⋅v s'appelle un multiple scalaire de v Exemples 1) Kn est un K – espace vectoriel 2) ∇2, ∇3 sont des espaces vectoriels 3) L'anneau des polynômes K[t] 4) L'ensemble ℑ(∇,∇) de toutes les fonctions de x dans ∇ est un ∇ – espace vectoriel 5) L'ensemble de Mn x m (K) de toutes les matrices n x m est un K – espace vectoriel Remarque: pour tous ces exemples, il est bien sûr nécessaire de définir les deux lois de compositions Conséquence des axiomes: 1) λ ⋅ 0 = 0 ∀λ∈K 2) 0 ⋅ v = 0 ∀v∈V 3) λ ⋅ v = 0, alors λ = 0 ou bien v = 0 4) λ ⋅ (-v) = - (λ ⋅ v) ∀ λ ∈ K et ∀ v ∈ V Soit V un K – espace vectoriel. On dit qu'une partie W de V est un sous – espace vectoriel (ou plus simplement un sous – espace) si la réduction à W des deux lois définissant V font de W un K – espace vectoriel Première version du critère des sous – espaces: Pour que ces deux lois soient bien définies, il faut que W soit stable par les deux lois, c'est – à – dire: w + w' ∈ W, ∀ w, w' ∈ V λ⋅w ∈ W, ∀ λ ∈ K Ces 2 conditions de stabilité sont suffisantes pour que W (non – nul) soit un sous – espace vectoriel

Exemples: 1) {0} est un toujours un sous – espace (appelé sous – espace nul) 2) V = Kn, W = {(x1,x2,…,xk,0,0,…,0)} où x1,x2,…,xk ∈ K et 1 ≤ k ≤ n 3) Si V est un K – espace vectoriel et si v ∈ V, alors l'ensemble W des multiples scalaires de v est un sous – espace. W est appelé "droite" des multiples de v 4) Si v1,v2 ∈ V et si v1,v2 ne sont pas des multiples scalaires l'un