Introduction aux eds

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 41 (10136 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 9 mai 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Introduction aux équations intégrales browniennes

Marie du Roy, Charlotte Perrin sous la direction de Mihai Gradinaru

20 avril 2011

Table des matières
1 Résultats préliminaires, mouvement Brownien
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 Dénition du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés simples du mouvement Brownien .. . . . . . . . . . . . . . . Approximation de fonctions et conventions . . . . . Construction de l'integrale d'Itô . . . . . . . . . . . Propriétés de l'intégrale d'Itô . . . . . . . . . . . . Extensions de l'intégrale d'Itô à une nouvelle classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4

23

2 Dénition de l'intégrale stochastique au sens d'Itô

5 5 8 8

3 Formule d'Itô

Processus d'Itô et formule d'intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule d'Itô en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11 12

8

4 Équations diérentielles stochastiques

Théorème d'existence et d'unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dépendance par rapport à la condition initiale . . . . . . . . . 4.2.2 Caractère markovien de la solutiond'une équation diérentielle Peut-on survivre sans la condition de Lipschitz ? . . . . . . . . . . . . Stabilité stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Stabilité dans le cadre stochastique . . . . . . . . . . . . . . . .

12

12 16 16 16 18 19 19 21 22 23

5 Le processusd'Ornstein-Uhlenbeck
5.1 5.2

Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1

Introduction
Depuis les observations de Robert Brown sur le déplacement des grains de pollen en solution et les travaux d'Einstein et de Smoluchowski qui ont proposé unedescription du phénomène, on s'est rendu compte que de nombreuses situations pouvaient être décrites en faisant intervenir des "forces aléatoires".

Exemple. Considérons par exemple le modèle simple de croissance de population :
dN = a(t)N (t), N (0) = N0 une constante dt
où N (t) est la taille de la population à l'instant t, et a(t) le taux de croissance associé à l'instant t. Parfois nous nepouvons pas déterminer complétement a(t). En eet, a(t) peut être lié à des perturbations aléatoires de l'environnement. On peut alors écrire

a(t) = r(t) + "bruit",
où nous supposons que r(t) est déterministe et où le comportement du terme de bruit n'est pas connu précisément, seulement sa distribution de probabilité. diérentielle suivante

Exemple. La charge Q(t) à l'instant t en un point xéd'un circuit élétrique satisfait l'équation
LQ”(t) + RQ (t) + 1 Q(t) = F (t), Q(0) = Q0 , Q (0) = I0 C

où L est l'inductance, C la capacité, R la résistance et F (t) la source de tension à l'instant t. F (t) peut comme dans l'exemple précédent ne pas être déterministe mais sous la forme

F (t) = G(t) + "bruit".
Plus généralement les équations diérentielles stochastiques interviennent dansla cinétique d'une réaction chimique, l'évolution des marchés nanciers, ... Le concept d'équation diérentielle stochastique généralise donc celui d'équation diérentielle ordinaire aux processus stochastiques. La formalisation théorique de ce problème à elle seule a posé problème aux mathématiciens. Il a fallu attendre les travaux du mathématcien japonais Itô Kiyoshi pour dénir l'intégrale...
tracking img