Intégrales et sommes célèbres
k=
n(n + 1) 2 1 − q n+1 (si q = 1). 1−q
Somme géométrique. k=1 qk = qk =
Si |q| < 1 alors :
∞ k=1
1 . 1−q
n
Somme des coefficients binomiaux. k=0 n = 2n k n Somme alternée des coeff. binomiaux.
(−1)k k=0 n = 0 (où n ∈ N∗ ). k
Somme des inverses des nombres premiers. Somme des inverses. 1 = +∞. k=1 k
∞ ∞
1 = +∞. p∈P p
(−1)k+1 = ln(2). k k=1 ∞ 1 π2 Somme des inverses des carrés. = . 2 6 k=1 k ∞ π4 1 = . Somme des inverses des bicarrés. 4 90 k=1 k Somme alternée des inverses. La fonction de Riemann est : ζ(p) =
1 ∞ k=1 kp
(si p > 1).
Somme des inverses des factorielles. Si z ∈ C, on a plus généralement
1 = e. k=0 k! = ez .
∞
∞ zk k=0 k!
α>1 dx Intégrales de Bertrand. < +∞ ssi ou 2 xα lnβ (x) α = 1 et β > 1 α<1 1 dx 2 Intégrales de Bertrand (bis). < +∞ ssi ou β 0 xα | ln (x)| α = 1 et β > 1
+∞ +∞
Intégrale de Dirichlet.
0
sin(x) π dx = x 2 1
Sommes et intégrales célèbres π 2
Intégrale de Dirichlet (bis).
0
ln(sin(x))dx = −π
1
ln(2) 2
Intégrales d’Euler (1ère espèce). B(x, y) =
0 1
tx−1 (1 − t)y−1 dt
Intégrales d’Euler (2ème espèce). Γ(z) =
0 +∞ +∞ 0
tz−1 e−t dt √ π 4
Intégrales de Fresnel.
0 +∞
cos(x )dx = √ exp(−x )dx =
2
2
sin(x )dx = π 2
2
Intégrale de Gauss.
0 1
Intégrale de Raabe.
0
ln(Γ(x))dx = π 2
ln(2π) 2 π 2
Intégrales de Wallis.
0
cos (x)dx =
0
n
sin (x)dx
n
n→+∞
∼
π 2n
2