Intégration

On considère un repère orthogonal [pic].
[pic]
1 unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle OIKJ.

I – Intégrale d’une fonction positive

Définition :
On considère une fonction f continue et positive sur [pic]. [pic] est sa courbe représentative dans le repère [pic].
[pic]
On définit le domaine D délimité par : • [pic], • Les droites d’équation [pic] et [pic], • L’axe des abscisses.
L’aire de D, exprimée en unités d’aire, est le réel [pic]. Cette écriture ce lit « somme (ou intégrale) de a à b de [pic] ». a et b sont les bornes de l’intervalle.

Remarque :
Dans l’écriture [pic], la variable x n’a aucune signification particulière : on pourrait l’appeler autrement : [pic] ou [pic] (il s’agit d’une variable muette).

Exemples : • Si [pic] alors [pic]. • Si [pic] alors [pic].

Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur [pic]. La valeur moyenne de f sur [pic] est [pic].

Remarques : • [pic] [pic] équivaut à [pic]. Autrement dit, la valeur moyenne est telle que l’aire du rectangle de dimensions [pic] et m est égale à celle « sous la courbe de f ». • En cinématique, m, la vitesse moyenne est la vitesse constante nécessaire pour parcourir la même distance entre les temps a et b. • En physique, si [pic] alors [pic] est une grandeur homogène à [pic]et [pic] est une grandeur homogène à y.

II – Intégrale d’une fonction de signe quelconque

1) Intégrale d’une fonction négative

Définition :
On considère une fonction f continue et négative sur [pic].
[pic]
On définit l’intégrale de a à b de f par [pic] où A est l’aire du domaine D du plan délimité par la courbe [pic], les droites d’équation [pic] et [pic] et l’axe des abscisses.

Exemple :
Soit f définie sur  par [pic].
[pic]
f est continue et négative sur [pic]. Alors [pic].

2) Cas général

On considère une fonction f continue sur [pic].
[pic]
[pic] est la réunion de toutes les parties du