Inégalités : petit recueil

Thibaut Allemand 6 mars 2007
L'analyse, ce n'est que des inégalités...

Table des matières
1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Inégalités pour les enfants

Inégalité de Young . . . . . . . . . Quelques inégalités logarithmiques Théorème des accroissements nis Inégalité de Taylor-Lagrange . . . Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . .

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1

1 2 4 6 6

2

Inégalités pour les adolescents

Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Markov ou Bienaimé-Tchebytchev . Inégalité de Young pour la convolution . . . . . Inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . Injections de Sobolev . . . . . . . . . . Inégalité de Csiszár-Kullback . . . . . Inégalité de Nash . . . . . . . . . . . . Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 7 . 8 . 9 . 10 . 10 . 11 . . . . .
13

7

3

Inégalités pour adultes

13 15 16 16 17

1

Inégalités pour les enfants

1.1 Inégalité de Young
Il s'agit d'une inégalité assez élémentaire, mais souvent utile lorsqu'on doit eectuer des majorations nes et/ou astucieuses.
Soit 1 < p < +∞. Soit p tel que Soient a, b ∈ (0, +∞). Alors
Théoreme 1.1.
1 p 1 p

+

= 1 (i.e. p =

p p−1

).

ab ≤

1 p 1 a + bp . p p

1

Démonstration. Il s'agit simplement d'utiliser la concavité du logarithme : log 1 p 1 a + bp p p ≥ 1 1 log ap