Isomorphisme

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Lycée Brizeux PCSI A

Éléments de correction du DM no 3
Optique : Focométrie

2008-2009

1.
1.1
1.1.1

Focométrie
Lentille convergente : (L1 ) de centre O1 et de distance focale f1
Méthode d’autocollimation

1.1.1.1 On utilise un système optique constitué de la lentille (L1 ) étudiée et d’un miroir plan. La lumière issue de l’objet traverse la lentille, est réfléchie par le miroiret retraverse ensuite la lentille. Si l’objet AB se trouve dans le plan focal objet de la lentille (L1 ), son image finale A B par le système {(L1 ), (M ), (L1 )} est dans le même plan que (AB), renversée et de même taille (cf. schéma ci-dessous).

(L1) B A F1 A' B' O

(M)

1.1.1.2 Pour déterminer f1 , on déplace la lentille (L1 ) jusqu’à avoir une image retour nette dans le plan de l’objet,renversée et de même taille. On a alors : AO = f1 , soit AO1 = f1 = 20, 2 cm . f1 = xO1 −xA . L’incertitude sur f1 est (sur)évaluée en additionnant les erreurs (lecture et/ou mise au point) sur les positions de O et de A. On obtient donc : ∆f1 = ∆x01 + ∆xA = 0, 5 cm 1.1.2 Formule de conjugaison de Descartes conjugaison :
1 O1 A

1.1.2.1 Connaissant les positions de l’objet et de l’image parrapport à la lentille, la relation de −
1 OA

=

1 f1

permet de déterminer f 1 : f1 =

O1 AO1 A O1 A−O1 A

= 20, 0 cm .

1.1.2.2 Pour déterminer l’incertitude on prend le logarithme de f et on différencie (différentielle logarithmique), on obtient alors ∆f1 = f12 ( ∆p + ∆p en notant p = O1 A et p = O1 A . On p p trouve ∆f1 = 0, 3 cm . 1.1.3 Méthode de Bessel

1

1.1.3.1 On pose p = O1A et p = O1 A . On a p − p = D et première équation dans la et négatif, le discriminant d’où D > 4f1 .

1 1 1 p = p + f1 soit en injectant la seconde on obtient le trinôme p2 + Dp + f1 D = 0. p étant ici réel de ce trinôme est nécessairement positif soit ∆ = D2 − 4f1 D > 0

L’équation possède alors deux solutions réelles : p1 = 1.1.3.2 d = p1 − p2 = D(D − 4f1 ) soit f1 =
D2 −d2 4D

−D+√

D(D−4f1 ) 2

et x2 =

−D−



D(D−4f1 ) 2

.

1.1.3.3 En faisant une différentielle logarithmique, on obtient ∆f1 = 1.1.3.4 On obtient f1 = 20, 0 cm et ∆f1 = 0, 4 cm 1.1.4 Méthode de Silbermann
p p

D2 +d2 ∆D 4D2

+

d 2D ∆d

1.1.4.1 Le grandissement de la lentille L1 s’écrit : γ =

= −1 d’où p = −p. D0 = p − p = 2p =
D0 4

−2p et d’après la formule de conjugaison, onobtient f1 = 1.1.4.2 L’application numérique donne f1 = 20, 1 cm et ∆f1 =

∆D0 4

= 0, 1 cm

1.1.4.3 La méthode de Silbermann correspond au cas particulier où D = 4f1 dans la méthode de Bessel. Dans ce cas : ∆ = 0 et il n’existe qu’une seule position de la lentille donnant une image nette sur l’écran : p = − D : la lentille est à égale distance de A et A . Le grandissement 2 vaut donc γ = p =−1. p 1.1.5 Comparaison des méthodes

La méthode la plus rapide à mettre en oeuvre est la méthode d’autocollimation : le réglage est rapide et il n’y a que deux positions à mesurer (celles de O1 et A) Celle qui permet la meilleure précision est la méthode de Silbermann d’après les résultats des calculs d’incertitude.

1.2
1.2.1

Lentille divergente : (L2 ) de centre O2 et de distancefocale f2
Théorème des vergences (formule des opticiens)

1.2.1.1 On forme une image réelle A B à partir d’un objet réel AB : la lentille mince équivalente au système {(L0 ) + (L2 )} est donc une lentille convergente. Le grandissement étant de −1, on se retrouve dans le cas de la méthode de Silbermann permettant de déterminer la focale 4 d’une lentille convergente à l’aide de la relation : f = D0 .On a donc : V = D0 = 4 m−1 . 4 1.2.1.2 Les deux lentilles L0 et L2 étant accolées : V = V0 + V2 . On en déduit V2 = −4m−1 soit f2 = −25, 0 cm . 1.2.1.3 En tenant compte de la distance e entre les centres des deux lentilles, on trouve en appliquant la formule de Gullstrand : V2 = −4, 2 m−1 soit f2 = −24, 0 cm 1.2.2 Viseur à frontale fixe 1.2.2.1 Lorsque l’on intercale la lentille L2 : celle-ci...
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