Fiche N°15

Les Isométries du plan

Les Isométries du plan
I) Généralités : Dans la suite le plan est noté P . 1) Définition : On appelle isométrie, du plan, toute application f :P  P qui conserve les distances.  Exemples : Ex 1 : Toute rotation R du plan est une isométrie. En effet, soient M et N deux points du plan si M'  R (M) et N'  R ( N) alors M' N'  MN Ex 2 : Toute translation est une isométrie. Pour tous points M et N d’images M' et N' par une translation de vecteur u on a : M' N'  MN

M' M
N

N'

donc

M' N'  MN

c’est à dire M' N'  MN .

Ex 3 : Toute symétrie orthogonale dans le plan, est une isométrie. Remarque Importante : Soit f une isométrie du plan. Pour tous points A et B d’images A'  f (A) et B'  f (B) on a : si

AB

alors

A'  B'

On dit une isométrie est injective.

2) Propriétés : (1) La composée de deux isométries est une isométrie. (2) Pour tous points A, B, C et D d’images A' , B' , C' et D' par une isométrie on a :  si AB  CD  alors

A' B'  C' D'
(on dit une isométrie conserve le produit scalaire).

A' B'  A' C'  AB  AC

(3) Soient A, B, C, D, E et F six points du plan et A' , B' , C' , D' , E' et F' leurs images respectifs par une isométrie du plan et soient a et b deux réels. si EF  a AB  b CD alors E' F'  a A' B'  b C' D'

3) Conséquences : Th 1 : Toute application f :P  P qui conserve le produit scalaire est une isométrie du plan.  Th 2 : Toute isométrie conserve l’alignement. En effet : (si AB  AC alors A' B'  A' C' ) ou (  IR ) . Th 3 : L’image d’une droite par une isométrie est une droite. Th 4 : Une isométrie conserve le parallélisme et l’orthogonalité. C’est à dire : Par une isométrie, – Les images de deux droites // sont deux droites //. – Les images de deux droites  sont deux droites  . Th 5 : Toute isométrie transforme un repère orthonormé en un repère orthonormé. Th 6 : Toute isométrie est une bijection et sa réciproque est une isométrie. Th 7 : Toute