Je ne sais pas trop

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Cours PC Brizeux

Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29

DYNA MIQUE LOCAL E DES FLUI DE S PA RFAIT S

CHAPITRE DF3

Dans ce chapitre, nous allons relier l’écoulement d’un fluide aux actions qu’il subit. Nous privilégions le point de vue eulérien, c’est-à-dire la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant r de champs tels que v (M, t), P(M, t) et ρ(M, t). Nousétablirons des relations différentielles ou de conservation entre ces grandeurs et les actions subies : il s’agit bien d’une dynamique locale. Remarquons dès à présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5 équations pour sa résolution… ! Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l’étude de fluides parfaits où n’intervient donc aucune force de viscosité.

1.EQUATION D’EULER - APPLICATIONS

1.1.

Expression

Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit le mouvement, on a : r r Dv dm = df Dt r r Dv où représente l'accélération de la particule et d f la résultante des forces subies par l'élément dm. Dt ! ! En privilégiant lar description volumique des forces et en faisant apparaître le rôlespécifique des ! forces de pression, d f s’écrit : r r ! d f = ( fv - grad P) dτ En écrivant dm = ρ dτ, il vient : !
!

r r r r "v ρ[ (v.grad)v + ]= fv - grad P ! ! "t

Cette équation, qui n'est autre que la relation locale de la résultante cinétique, est appelée équation r d'Euler. Une division par ρ fait apparaître les! ! massiques fm et une deuxième forme de l’équation forces ! ! d’Euler. Nousretiendrons :

! r r r r r r r r gradP "v "v ρ[ + (v.grad)v ] = fv - grad P + (v.grad)v = fm " "t "t Equation d’Euler
!

!

! !

-! 29

!

!

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1.2.

Equation locale de la statique des fluides

Le cas particulier d’un fluide au repos dans un référentiel R s’obtient très facilement comme un cas particulierde l’équation d’Euler :
r r Pour un fluide en équilibre : 0 = fv - grad P

r Rq. Dans un référentiel non galiléen, fv inclut les forces volumiques d’inertie... ! ! ! r Par r exemple, si l’on suppose le fluide seulement soumis aux forces de pesanteur telles que r fv = ρ g = - ρg e z , avec un axe vertical z ascendant,cette relation redonne la forme scalaire simple en ! projection sur z : dP = -ρg dz !
!

Il ! important de remarquer que la répartition de pression n’est pas la même dans un fluide au est repos,où on parle de pression hydrostatique, et dans le même fluide en mouvement. En particulier, le théorème d’Archimède, qui utilise la pression hydrostatique pour calculer la résultante des forces pressantes exercées par un fluide sur un objet immergé, n’est plus valable dans unfluide en mouvement…

1.3.

Détermination des grandeurs locales associées à un fluide en écoulement : recherche d’un système complet d’équations

L'équation d'Euler, vectorielle, fournit 3 équations scalaires et la relation locale de conservation de la masse 1 équation scalaire : d’après la remarque faite en introduction, il « manque » alors une équation pour pouvoir résoudre le problème. Leproblème est évidemment immédiatement résolu si le fluide est homogène incompressible : la masse volumique devient alors une constante ρ0 connue dans tout l’écoulement. Les équations locales deviennent alors : r #P& r r r "v r div v = 0 = fm - grad % ( (v.grad)v + "t $ "0 ' (On notera le passage de la constante ρ0 à l’intérieur du gradient …)

! ! Dans le cas où la masse volumique reste uneinconnue ! problème, nous pourrions penser ajouter du ! ! ! une équation en introduisant une équation d’état du fluide. Cependant, c’est une équation de type thermodynamique qui introduit en général une nouvelle grandeur a priori également inconnue : le champ de température T(M, t). Il apparaît donc qu’une nouvelle équation est nécessaire. Cette équation sera en fait une équation de comportement du...
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