Jean

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  • Publié le : 15 avril 2011
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Les calculatrices sont interdites. N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clart´ , a la pr´ cision et a la concision ` e ` e ` de la r´ daction. e Si un candidat est amen´ a rep´ rer ce qui peut lui sembler etre une erreur d’´ nonc´ , il le signalera sur e` e ˆ e e sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a et´ amen´ ´e e aprendre. ` ´ P R E AMBULE : Les deux parties qui composent ce sujet sont ind´ pendantes et peuvent etre trait´ es par e ˆ e les candidats dans un ordre quelconque.

Partie I : Logique et calcul des propositions
´ Dans L’Egypte ancienne, la protection de la tombe des Pharaons faisait l’objet d’une grande attention. Le sarcophage etait port´ dans la salle fun´ raire par des esclaves accompagn´ sd’un prˆ tre. Le ´ e e e e couloir y conduisant etait d´ finitivement condamn´ apr` s leur passage. Les esclaves etaient ensuite ´ e e e ´ abandonn´ s dans la salle fun´ raire et le prˆ tre quittait le tombeau par un passage secret. Pour eviter e e e ´ ´ e ´ e que les esclaves et les eventuels pillards puissent emprunter le mˆ me passage, celui-ci etait ferm´ par plusieurs portes dont l’ouverturedemandait la r´ ponse a des enigmes. Pour empˆ cher qu’une autre e ` ´ e personne que le prˆ tre ne puisse trouver la r´ ponse aux enigmes, celles-ci etaient r´ gies par des r` gles e e ´ ´ e e propres a chaque tombe et connues uniquement du prˆ tre et de son ordre. ` e Vous faites partie d’une equipe d’arch´ ologues qui explore un tombeau r´ cemment d´ couvert ´ e e e grˆ ce au d´ chiffrage d’unmanuscrit ecrit en hi´ roglyphes contenant l’emplacement du tombeau et a e ´ e la pr´ cieuse r` gle n´ cessaire a la r´ solution des enigmes : Chaque enigme sera compos´ e de trois e e e ` e ´ e ´ affirmations. Une affirmation parmi les trois sera toujours fausse, les deux autres seront toujours vraies. Attention, ce ne seront pas forc´ ment toujours les mˆ mes. e e Votre equipe a r´ ussi a d´ blayerl’entr´ e de la salle fun´ raire et vous vous y etes pr´ cipit´ s trop ´ e ` e e e ˆ e e imprudemment. En effet, la galerie, mal etay´ e, s’est effondr´ e apr` s votre passage. Vous ne disposez ´ e e e pas de suffisamment d’air pour attendre que vos coll` gues d´ gagent a nouveau le passage. Votre seule e e ` chance de survie est d’emprunter le passage secret usuellement r´ serv´ au prˆ tre. e e e Nousnoterons A1 , A2 et A3 les propositions associ´ es aux trois affirmations contenues dans les e enigmes apparaissant sur chaque porte. ´ Question I.1 Repr´ senter la r` gle sous la forme d’une formule du calcul des propositions d´ pendant e e e de A1 , A2 et A3 . Une premi` re porte bloque le passage. Devant cette porte se trouvent une dalle blanche et une e dalle noire. Les affirmations suivantessont inscrites sur la porte : – Si tu poses le pied sur la dalle blanche, alors pose le pied sur la dalle noire ! – Pose les pieds simultan´ ment sur les dalles blanche et noire ! e – Pose le pied sur la dalle noire ! Nous noterons B, respectivement N , les variables propositionnelles correspondant au fait de poser le pied sur la dalle blanche, respectivement noire.

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Question I.2 ExprimerA1 , A2 et A3 sous la forme de formules du calcul des propositions d´ pendant e de B et de N . e Question I.3 En utilisant le calcul des propositions (r´ solution avec les formules de De Morgan), d´ terminer la (ou les) dalle(s) sur laquelle (ou lesquelles) vous devez posez les pieds pour ouvrir e cette porte. La porte s’ouvre, puis se referme apr` s votre passage. Une seconde porte se trouvemaintenant e face a vous. Sur le cˆ t´ de la porte se trouvent trois pav´ s de tailles diff´ rentes (petit, moyen, gros). ` oe e e Trois affirmations sont inscrites sur la porte. Malheureusement, un des hi´ roglyphes est illisible. Voici e les textes que vous arrivez a d´ chiffrer : ` e – L’affirmation suivante est fausse : N’appuie sur le petit pav´ que si tu as appuy´ sur le gros e e pav´ ! e –...
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