DS4 : "Fonctions – Second degré – Espace – Limites – Barycentre" CORRECTION

1ère S2

Exercice 1 : où h(x) = 2 x – 1 et g(x) = x 3. a) sur I = , f(x) = (2 x – 1) 3 = g h( x) Comme h affine de coefficient de degré 1 positif alors elle est croissante sur comme g qui est la fonction cube. Ainsi, f composée de deux fonctions de même monotonie est croissante sur . h(x) = x et g(x) = 1 – 3 x. b) sur I = [0 ; +∞[, f(x) = 1 – 3 x = g h( x) où Comme g affine de coefficient de degré 1 négatif alors elle est décroissante sur et comme h est la fonction racine carrée alors elle est croissante sur + . Ainsi, f composée de deux fonctions de monotonies opposées est décroissante sur Exercice 2 : 1/ g h( x) = ( x − 1)² = x − 2 x + 1 = x − 2 x + 1 = f(x). 2/ Soit x et x’ deux réels de [0 ; 1] tels que x ≤ x’. On a 0 ≤ x ≤ x’ ≤ 1 alors –1 ≤ x – 1 ≤ x’ – 1 ≤ 0 ainsi (x – 1)² ≥ (x’ – 1)² ≥ 0 Donc g(x) ≥ g(x’) g est décroissante sur [0 ; 1]. Soit x et x’ deux réels de ]1 ; +∞[ tels que x ≤ x’. On a 1 < x ≤ x’ alors 0 < x – 1 ≤ x’ – 1 ainsi 0 < ( x – 1)² ≤ (x’ – 1)² Donc g(x) ≤ g(x’) g est croissante sur ]1 ; +∞[. 3/ Comme h est la fonction racine carrée, elle est croissante sur + . Sur [0 ; 1], comme f est composée de deux fonctions de monotonies opposées alors elle est décroissante. Sur ]1 ; +∞[ comme f est composée de deux fonctions de même monotonie alors elle est croissante. Exercice 3 : 1/ Quand a = 1 (E1) = (E2) : x2 + x + 1 = 0. 2 On calcule le discriminant Δ de x + x + 1 : Δ = 1² – 4×1×1 = –3. Comme Δ < 0 alors (E1) = (E2) n’admet aucune racine réelle. 2/ Quand a ≠ 1 dire que (E1) et (E2) ont une racine commune x0 revient à dire que x02 + a x0 + 1 = x02 + x0 + a 3/ Si x0 = 1 alors d’où (a – 1) x0 = a – 1 on a alors x0 = d’où
2

+

.

quand a ≠ 1

12 + a×1 + 1 = 0

a −1 = 1. a −1

CQFD !

a = – 2. CQFD !

Exercice 4 : 1/ Quand m = – 4 (C) a pour équation y = –x –9. C’est donc une droite. Quand m ≠ – 4 (C) a une équation de la forme y = ax²+bx+c. C’est donc une