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DS4 : "Fonctions – Second degré – Espace – Limites – Barycentre" CORRECTION

1ère S2

Exercice 1 : où h(x) = 2 x – 1 et g(x) = x 3. a) sur I = , f(x) = (2 x – 1) 3 = g h( x) Comme h affine de coefficient de degré 1 positif alors elle est croissante sur comme g qui est la fonction cube. Ainsi, f composée de deux fonctions de même monotonie est croissante sur . h(x) = x et g(x) = 1 – 3 x. b)sur I = [0 ; +∞[, f(x) = 1 – 3 x = g h( x) où Comme g affine de coefficient de degré 1 négatif alors elle est décroissante sur et comme h est la fonction racine carrée alors elle est croissante sur + . Ainsi, f composée de deux fonctions de monotonies opposées est décroissante sur Exercice 2 : 1/ g h( x) = ( x − 1)² = x − 2 x + 1 = x − 2 x + 1 = f(x). 2/ Soit x et x’ deux réels de [0 ; 1] tels que x≤ x’. On a 0 ≤ x ≤ x’ ≤ 1 alors –1 ≤ x – 1 ≤ x’ – 1 ≤ 0 ainsi (x – 1)² ≥ (x’ – 1)² ≥ 0 Donc g(x) ≥ g(x’) g est décroissante sur [0 ; 1]. Soit x et x’ deux réels de ]1 ; +∞[ tels que x ≤ x’. On a 1 < x ≤ x’ alors 0 < x – 1 ≤ x’ – 1 ainsi 0 < ( x – 1)² ≤ (x’ – 1)² Donc g(x) ≤ g(x’) g est croissante sur ]1 ; +∞[. 3/ Comme h est la fonction racine carrée, elle est croissante sur + . Sur [0 ; 1],comme f est composée de deux fonctions de monotonies opposées alors elle est décroissante. Sur ]1 ; +∞[ comme f est composée de deux fonctions de même monotonie alors elle est croissante. Exercice 3 : 1/ Quand a = 1 (E1) = (E2) : x2 + x + 1 = 0. 2 On calcule le discriminant Δ de x + x + 1 : Δ = 1² – 4×1×1 = –3. Comme Δ < 0 alors (E1) = (E2) n’admet aucune racine réelle. 2/ Quand a ≠ 1 dire que (E1) et(E2) ont une racine commune x0 revient à dire que x02 + a x0 + 1 = x02 + x0 + a 3/ Si x0 = 1 alors d’où (a – 1) x0 = a – 1 on a alors x0 = d’où
2

+

.

quand a ≠ 1

12 + a×1 + 1 = 0

a −1 = 1. a −1

CQFD !

a = – 2. CQFD !

Exercice 4 : 1/ Quand m = – 4 (C) a pour équation y = –x –9. C’est donc une droite. Quand m ≠ – 4 (C) a une équation de la forme y = ax²+bx+c. C’est donc uneparabole. 2/ Quand m = 0 (C) : y = 4 x² – x – 9 et (d) : y = – x. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) et de la droite (d) revient à résoudre l’équation (E0) 4 x² – x – 9 = – x. Or (E0) 4 x² = 9 d’où x² = 9/4ainsi x1 = –3/2 et x2 = 3/2. et y2 = – 3/2 à l’aide de l’équation de (d). D’où on obtient y1 = –(–3/2) = 3/2 Finalement, (C) et (d) se coupent en M1(–3/2 ; 3/2) et enM2(3/2 ; –3/2). 3/ Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) et de la droite (d) revient à résoudre l’équation (E) (m + 4) x 2 – x – 9 = – (m + 1) x. C'est-à-dire (m + 4) x 2 + m x – 9 = 0. On calcule le discriminant Δ de (m + 4) x 2 + m x – 9 : Δ = m² – 4×(m+4)×(–9) = m² + 36 m + 144. Il s’agit ici d’étudier le signe du trinôme Δ pour déterminer le nombre de solutions del’équation (E). On calcule le discriminant DΔ de Δ : DΔ = 36² – 4×1×144 = 720. Comme DΔ > 0 alors Δ admet deux racines notées m1 et m2. m1 =

−36 − 720 = −18 − 6 5 2 ×1

et

m2 =

−36 + 720 = −18 + 6 5 . 2 ×1

Comme le trinôme a un coefficient de degré 2 positif (c’est 1), un discriminant strictement positif et deux racines m1 et m2, alors Δ est positif quand m∈]−∞ ; m1[ ∪ ]m2 ; +∞[ (en dehors desracines), Δ est nul quand m= m1 ou m2 et Δ est négatif quand m∈]m1 ;m2[. Finalement : – (C) et (d) ont deux points d’intersection quand (E) a deux solutions. C'est-à-dire quand m∈]−∞ ; m1[ ∪ ]m2 ; +∞[ ; – (C) et (d) ont un seul point d’intersection quand (E) a une solution. C'est-à-dire quand m= m1 ou m2. – (C) et (d) n’ont aucun point d’intersection quand (E) n’a pas de solution réelle.C'est-à-dire quand m∈]m1 ;m2[.

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DS4 : "Fonctions – Second degré – Espace – Limites – Barycentre" CORRECTION

1ère S2

Exercice 5 : a) lim f ( x) = lim x 3 + lim x − 1 = +∞ .
x →+∞ x →+∞ x →+∞

Limite d’une somme

Car b)

x →+∞

lim x3 = +∞

et

x →+∞

lim ( x − 1) = lim x − 1 = +∞
x →+∞

(

)

(somme)

3⎞ ⎛ lim g ( x) = ⎜ lim ⎟ − 1 = −1 . (somme) x →+∞ x ⎝ ⎠ 3...
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