Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1

Triangularisation

Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice
A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a
Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

λ1
0


−1
P AP = 
0


0

∗ ... λ2 ∗
...
... 0
...
...


∗
...
∗


 λi ∗ ∗ 


...
0 λn

La d´monstration fournit une m´thode de triangularisation. On va donc en donner les e e grandes lignes. Elle est bas´e sur une m´thode de r´currence. e e e On suppose donc que l’on sait d´montrer le th´or`me ` l’ordre n − 1. Puis on cherche e e e a une valeur propre λ et un vecteur propre e de l’endomorphisme associ´ (ou ce qui est e ´quivalent de la matrice A). e On compl`te en une base de E : (e, v2 , . . . , vn ). La matrice de ϕ est dans cette base de la e forme : λ L
0 B
Soit si P est la matrice de passage
P −1 AP =

λ L
0 B

On applique ` la matrice B (n − 1, n − 1) l’hypoth`se de r´currence. C’es-`-dire que l’on a e e a peut trouver des vecteurs w2 , . . . , wn (qui forment une base du sous-espace engendr´ par e v2 , . . . , vn ) tels que si on note P la matrice de passage de (v2 , . . . , vn ) ` (w2 , . . . , wn ) la a matrice P −1 BP est triangul`re. e Donc
1
0
1 0
1
0 λ L
1 0
−1
AP
=
−1 P
−1
0 P
0 P
0 P
0 B
0 P
Soit
1
0
P −1 AP
0 P −1

1 0
0 P

qui a les propri´t´s requises. ee 1

=

λ
LP
−1
0 P BP

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R´duction de Jordan en dimension 2 et 3 e On va donner une autre mani`re de proc´der dans des cas particuliers. D’abord : e e
D´finition 2.1. On appelle r´duite de Jordan Jk (λ) la e e

λ 1 0
...
0 λ 1
...

. . .
... ... ...

.