Kalman filter analysis in dendroclimatology

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Kelly Choukroun et David Cohen

Master TSI et ENSAE

Kalman Filter Analysis in Dendroclimatology H.Visser, J.Molenaar

Table des mati`res e
0.1 Le mod`le utilis´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 0.1.1 0.1.2 0.1.3 0.1.4 0.2.1 0.2.2 Bibliographie Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Etat de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . La proc´dure de s´lection des variables . . . . . . . . . . e e Application de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . Hypoth`ses du mod`le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Originalit´ du filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . e 4 4 4 7 8 8 8 9 11

0.2 Int´rˆt de l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee

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Introduction
L’article Kalman FilterAnalysis in Dendroclimatology [1]de H.Visser et J.Molenaar pr´sente une m´thode statistique afin d’´tablir et quantifier les liens e e e entre croissance d’un arbre et facteurs ext´rieurs environnementaux comme e les pr´cipitations. L’approche statistique pour r´soudre ce type de probl`me e e e
` remonte au d´but du XXeme si`cle. Suite, entre autres, ` l’article d’Harrison e e a

et StevensBayesian Forecasting, voir [2], l’int´rˆt de l’utilisation du filtre de ee Kalman pour des mod´les lin´aires dynamiques conduit H.Visser et J.Molenaar e e ` introduire cette nouvelle technique pour l’´tude de la croissance des arbres. a e

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0.1

Le mod`le utilis´ e e

L’objet de la dendroclimatologie consiste en la mod´lisation des relations e entre climat et croissance des arbres.L’approche utilis´e par H.Visser et J.Molenarr e dans Kalman Filter Analysis in Dendroclimatology [1] repose sur les fonctions de r´ponse, coefficients d’un mod`le de r´gression donnant une relation fonce e e tionnelle entre climat et croissance de l’arbre.

0.1.1

Introduction

Le mod`le associ´ ` la fonction de r´ponse en dendroclimatologie s’´crit : e ea e e

′ yt = zt α + ξt

(1)

o` t est unindice de temps sur N ann´es cons´cutives, yt un indice (centr´ u e e e r´duit) de tronc d’arbre l’ann´e t. zt est le vecteur de variables explicatives e e (´galement r´duites), α repr´sente les coefficients de la r´gression, et ξt mesure e e e e le bruit.

0.1.2

Etat de l’art

Le recours aux techniques statistiques en dendroclimatologie remonte ` a 1925. D`s les ann´es 1960, Fritts proposedes mod`les de r´gression lin´aire : la e e e e e croissance annuelle de l’arbre est expliqu´e par diff´rents facteurs climatiques e e (temp´ratures et pr´cipitations). Ces mod`les apparaissent en fait peu adapt´ : e e e e les coefficients constants de la r´gression ne permettent pas de d´celer l’appae e rition de nouveaux ph´nom`nes, et ne prennent pas en compte les diff´rences e e e de sensibilit´ del’arbre au climat en fonction de son ˆge ou du niveau de pole a e e lution. Puckett, Phipps, McClenahen et Dochinger proposent alors le proc´d´ suivant : diviser les intervalles de temps en trois, et estimer les coefficients des r´gressions sur chacun des trois intervalles. En 1986, Visser introduit le filtre e de Kalman en dendroclimatologie.

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Le filtre de Kalman D´velopp´ en 1960, le filtrede Kalman est red´couvert entre autres par e e e Harrison et Stevens en 1976 (voir [2]). Ces derniers consid`rent le mod`le : e e yt = Ft θt + vt , vt N(0, Vt ) θt = Gθt−1 + wt , wt N(0, Wt ) (2) (3)

En supposant normale N(m0 , C0 ) la distribution de θ0 avant la premi`re e observation (ie au temps t = 0), alors ` la date t, θt a aussi une distribution a normale N(mt , Ct ). L’algorithme suivantpermet d’obtenir r´cursivement les e valeurs de Ct et mt :

y = Ft Gm−1 ˆ e = yt − y ˆ R = GCt−1 G′ + Wt ˆ Y = Ft RFt′ + Vt ˆ A = RFt′ Y −1 mt = Gmt−1 + Ae ˆ Ct = R − AY A′

(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

θt+k et Ft+k , o` E(θt+k |yt , Ft ) et varθt+k |yt , Ft proviennent du filtre de Kalu man. Toutefois, le but de la dendroclimatologie n’est pas la pr´diction de la e croissance de...
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