DES LOIS DE KEPLER À L’ÉTUDE D’UN ASTÉROЇDE…
L’objectif de cet exercice est d’étudier le mouvement de quelques planètes du système solaire et de déterminer la masse de l’astéroïde Rhea Sylvia, récemment découvert par une équipe d’astronomes.
Celui-ci a la forme d'une grosse pomme de terre mesurant quelques centaines de kilomètres.
Par souci de simplification, dans tout l’exercice, les astres étudiés sont considérés à répartition sphérique de masse.
Donnée : constante de gravitation universelle G = 6,67 10 – 11 S.I
Les représentations vectorielles demandées sont à effectuer sans souci d’échelle.
1. En hommage à Kepler
« Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, près de
Stuttgart (Allemagne), mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne, est un astronome célèbre. Il a étudié et confirmé l'hypothèse héliocentrique
(la Terre tourne autour du Soleil) de Nicolas Copernic. Il a également découvert que les trajectoires des planètes n’étaient pas des cercles parfaits centrés sur le Soleil mais des ellipses. En outre, il a énoncé les lois (dites lois de Kepler) qui régissent les mouvements des planètes sur leurs orbites. »

1.1. Planètes en orbite elliptique.
La figure 10 ci-dessous représente la trajectoire elliptique du centre d’inertie M d’une planète du système solaire de masse m dans le référentiel héliocentrique considéré galiléen. Les deux foyers F 1 et F2 de l’ellipse et son centre O sont indiqués.

M2

M1’

M1

A1

A2
M’2

Soleil

F1

O

F2
M3

Figure 10
1.1.1. En utilisant une des lois de Kepler, justifier la position du Soleil indiquée sur la figure 10.
1.1.2. On suppose que les durées de parcours entre les points M 1 et M’1 puis M2 et M’2 sont égales. En utilisant une des lois de Kepler, trouver la relation entre les aires hachurées A 1 et A2 sur la figure 10.
1.1.3. La valeur de la vitesse moyenne entre les points M 1 et M’1 est-elle inférieure, égale ou supérieure à celle entre les points M2 et M’2 ? Justifier.
1.2. Planètes en orbite circulaire.
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