Keyens

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  • Publié le : 19 avril 2010
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MATRICES
PLAN I : Matrice associée à une application linéaire 1) Définition 2) Somme de matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matricesparticulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques et antisymétriques IV : Changement de bases 1) Définition 2) Expression d'un vecteur 3) Applications linéaires 4) Annexe : composition des vitesses et des accélérations V : Résolution de systèmes 1) Méthode de Gauss2) Rang d'un système 3) Ensemble des solutions 4) Inversion de matrices Annexe : utilisation des matrices en physique 1) Matrice d'inertie 2) Réseaux de conducteurs électriques 3) Quadripôles 4) Electrostatique 5) Inductance mutuelle 6) Polarisation 7) Optique matricielle 8) Transformation de Lorentz

-1-

I : Matrice associée à une application linéaire 1– Définition Soit E un espacevectoriel de dimension finie p et F un espace vectoriel de dimension finie n. On choisit une base (ej)j=1..p de E et (εi)i=1..n. Dans cette base, un vecteur x de E s'écrit ∑ xjej. Son image f(x) s'écrit ∑ yiεi. f est définie si l'on connaît les images des ej. Posons f(ej) = ∑aijεi. On a alors f(x) = ∑ ∑aij xj εi de sorte que yi = ∑aij xj, ce qu'on note de la façon
i=1 i=1 j=1 j=1 n n p p

suivante :a11 a11 a12 ... a1p 1p p  y1   a21 a22 ... a2p  x1   a21 x1 + a12 x22 + ...++aa2pxxp  y2 x2 x1 + a22 x + ...   ...  =  ... ...  ...  =  ...  yn   an1 an2 ... anp  xp   an1 x1 + an2 x2 + ... anp xp  Matrice définissant l'application f dans les bases (ej) et (εi). abrégé en Y = MX. La jème colonne est constituée des composantes de l'image de ej aij se situe à la ième ligne etjème colonne. yi = ∑aijxj
j=1 p

La matrice associée à une application linéaire dépend de la base choisie.
np

n

( ). On notera que les vecteurs sont en colonnes. Une ligne (a1 a2 ... ap) s'interprête comme la

matrice de la forme linéaire x → ∑ aixi.
i=1

2– Somme de matrices On souhaite définir sur np( ) une somme de sorte que ( np( ),+) soit isomorphe à (L(E,F),+). Pour cela, ilsuffit de trouver quelle matrice associer à f+g, f et g étant deux applications linéaires de matrices A et B. Notons aij et bij les termes généraux des matrices M et N. On a : f(ej) = ∑aijεi
i=1 n n

g(ej) = ∑bijεi
i=1 n

⇒ (f+g)(ej) = ∑(aij + bij)εi
i=1

Ainsi A+B = C avec cij = aij + bij. Autrement dit, on ajoute les coefficients de même place. -2-

§§

¦¦

¥¥

¤¤

¡¡

Onnote

  

( ) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes. Si n = p, on note cet ensemble

£

¢¢

p

( np( ),+) est un groupe commutatif. Le neutre est la matrice nulle 0, associée à l'application identiquement nulle, constituée uniquement de 0. 3– Produit par un scalaire On procède de même pour le produit par un scalaire. Si la matrice A est associée à l'application linéaire f, λAsera associée à λf. Or : f(ej) = ∑aij εi
i=1 n

Ainsi la matrice λA admet pour terme général λaij. ( np( ),+,.) est alors un espace vectoriel isomorphe à L(E,F). Il est facile de voir que sa dimension vaut np, une base étant constituée des matrices Eij dont tous les termes sont nuls sauf un qui vaut 1, à la ligne i et la colonne j. On en déduit que dim L(E,F) = dimE × dimF, une base étant...
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