Krigeage

Automne 2003

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

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Plan
Définition Krigeage simple et krigeage ordinaire Interprétation Exemple numérique Propriétés du krigeage Aspects pratiques Validation croisée Lien entre KS et KO

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Définition
Méthode d’estimation linéaire, sans biais, minimisant la variance d’estimation telle que calculée à l’aide du variogramme Dans le cadre stationnaire, il y a 2 formes particulières de krigeage : - Le krigeage simple :

Zv = m + ∑ λi (Zi − m)
* i =1

n

- Le krigeage ordinaire :

* Zv

= ∑ λi Zi i =1

n

Le krigeage simple suppose la moyenne du processus (m) connue. Le krigeage ordinaire est plus fréquemment utilisé.
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Krigeage simple
La variance d’estimation est:
2 σe = Var[Zv] + ∑ ∑ λi λ j Cov[ Zi , Z j] - 2 ∑ λi Cov[ Zv , Zi] i =1 j=1 i =1 n n n

L’idée est de choisir les λi de façon à minimiser la variance d’estimation.
2 σe par rapport à chacun Pour trouver le minimum, on dérive

des λi et l’on pose ces dérivées partielles égales à zéro (condition d’un extrémum; cet extrémum est un minimum)

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On obtient alors le système linéaire suivant comportant « n » équations à « n » inconnues (les « n » λi)

∑ λ j Cov[Zi , Z j] = Cov[Zv , Zi] j=1 n

∀ i = 1...n

À l’optimum, la variance d’estimation s’écrit, tenant compte des équations précédentes:

σ2 = Var[ Zv] - ∑ λi Cov[Zv , Zi ] ks i =1

n

L’estimé est obtenu par :

Z* = m + ∑ λi (Zi − m) v i =1
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n

Ces équations s’écrivent sous forme matricielle :

K sλs = k s σ 2 = σ 2 − λ's k s ks v

− λs = K s 1k s

 Cov( Z1 , Z 2 ) σ2  Cov( Z 2 , Z1 ) σ2   • •  • •  Cov( Z , Z ) Cov( Z , Z ) n 1 n 2 

• • • • •

Cov( Z1 , Z n )   Cov( Z 2 , Z n ) 