L1S1 Math Examen final session 1 janv 2014 corrige
Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques et Informatique
Licence 1 – S1 – U.E. Mathématiques A ou B – 11MM11
Examen terminal – Première session
Correction
Exercice I. On considère dans C le système d’équations linéaires
(S)
(1 + i)Z1 − 2Z2
=3−i
iZ1 + (3 + 2i)Z2
= 1 + 2i.
En utilisant la méthode de Gauss, résoudre dans C le système (S).
En déduire l’ensemble des solutions complexes du système :
(1 − i)U1 − 2U2
=3+i
−iU1 + (3 − 2i)U2
= 1 − 2i.
Solution. Pour le système (S), commençons par échanger les lignes : i 3 + 2i 1 + 2i
1+i
−2
3−i
(Ligne 1) × −i
(1 + i) × (Ligne 1) − (Ligne 2)
1
7−i
× (Ligne 2)
1
2 − 3i 2 − i
1+i
−2
3−i
1 2 − 3i 2 − i
0 7−i
2i
1 2 − 3i
0
1
2−i
+ 7i)
1
25 (−1
1
On en déduit qu’il existe une solution unique : Z1 = 25
(31 − 42i), Z2 =
Si on conjugue les équations du système (S), on trouve :
(1 − i)Z1 − 2Z2
=3+i
−iZ1 + (3 − 2i)Z2
= 1 − 2i.
1
25 (−1
+ 7i).
Toute solution pour (U1 , U2 ) est donc la conjuguée d’une solution pour (Z1 , Z2 ) et vice versa. L’unique
1
1 solution est donc U1 = 25
(31 + 42i), U2 = 25
(−1 − 7i).
1
Exercice II. n 1. Pour tout z ∈
C∗
zk =
\ {1} et pour tout n ∈ N, montrer l’égalité : k=0 z n+1 − 1
.
z−1
n
z k = z n+1 − 1. Or
Solution. Vu que z − 1 = 0, il suffit de démontrer que (z − 1) k=0 n
n
zk =
(z − 1) k=0 n
z k+1 − k=0 z k = z n+1 − z 0 = z n+1 − 1. k=0 NB : Ce n’est pas nécessaire d’utiliser une récurrence.
2. Soit u = ei2π/7 et S = u + u2 + u4 .
(a) Justifier (en au plus 3 lignes) que: 1 + u + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 0.
Solution. On note tout de suite que u est une racine 7ième de l’unité: u7 = ei2π = 1.
7 −1
= 0.
D’après la question 1, 1 + u + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = uu−1
6
2
5
4
3
¯
(b) Vérifier que u
¯=u ,u
¯ = u et u
¯ = u et déduire S en fonction de puissances de u.
Solution. On a u = e−i2π/7 = ei(2π−(2π/7)) = ei12π/7 = u6 , u2 = e−i4π/7 = ei10π/7 = u5 , u4 = e−i8π/7 = ei6π/7 = u3 , d’où S = u + u2 + u4 = u6 + u5 + u3 .
¯ Quel est le