La génisse, la chèvre et la brebis en société avec le lion

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Bac S 2004 -Sujet national

Suites - Géométrie et complexes – Probabilité - Équations différentielles.

Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2004/bac_s_national_2004.doc

BACCALAUREAT GENERAL Session 2004
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9

OBLIGATOIRE et SPECIALITE

Lescalculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et laprécision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4.

EXERCICE 1 (3 points) Commun à tous les candidats

On considère la suite (un) définie par :
[pic]

1. Étudier la monotonie de la suite (un).
2.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2.b) Quelle est la limite de la suite (un) ?

Conjecturer une expression de un, en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

EXERCICE 2 (5 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Dans l’ensemble [pic] des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument [pic].
1. Montrer que (1 + i)6 = -8i.
2. On considère l’équation(E) : z2 = -8i.
a. Déduire de 1. une solution de l’équation (E).
b. L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.
3. Déduire également de 1. une solution de l’équation (E’) z3 = -8i.
4. On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle [pic].
5. (a) Déterminer l’affixe b du point B, image de A par r,ainsi que l’affixe c du point C, image de B par r.
c) Montrer que b et c sont solutions de (E’).
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O, [pic], [pic]) (unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C.
a) Quelle est la nature de la figure que forment les images de cessolutions ?
b) Déterminer le centre de gravité de cette figure.
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul [pic] et pour tout entier naturel x :
[pic]
Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entier [pic] supérieur ou égal à 2.
2.
a) Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de [pic].
Montrer que [pic] est un diviseur de [pic].b) Déduire de la question précédente que [pic] est divisible par 7, par 63 puis par 9.
3. Soient m et n deux entiers naturels non nuls et d leur pgcd.
a) On définit m’ et n’ par m =dm’ et n = dn’. En appliquant le théorème de Bézout à m’ et n’, montrer qu’il existe des entiers relatifs u et v tels que : mu – nv =d.
b) On suppose u et v strictement positifs.
Montrerque : [pic].
Montrer ensuite que [pic] est le pgcd de [pic] et de [pic].
c) Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de [pic] et de [pic].

EXERCICE 3 (4 points) Commun à tous les candidats
Restitution organisée de connaissances

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et lalettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève [pic] point l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic]), on donne le point S(1 ; -2 ; 0) et le plan P d’équation x + y – 3z + 4...