La guerre froide

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  • Publié le : 16 juin 2010
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Terminale S juin 2010

Centres étrangers (Maroc)

1 Exercice 1 (4 points)

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Question 1
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal [pic], on considère les droites (D1) et (D2) de représentations paramétriques : (D1) [pic]et (D2) : [pic].
Affirmation : Les droites (D1) et (D2) sont orthogonales.
Question 2
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal [pic], on considère le point A de coordonnées (2 ; −1 ; 3) et la droite (D) de représentation paramétrique : [pic].
Affirmation : Le plan (P) contenant le point A et orthogonal à la droite (D) a pour équation : 2x + y − z = 0.
Question 3
La durée de vie, expriméeen heures, d’un jeu électronique, est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre [pic].
Affirmation : La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à 2 000 heures est inférieure à 0,5.
Question 4
A et B sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : p(A)= 0,4 ; [pic] et [pic].
Affirmation : La probabilité del’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à [pic].
Exercice 2 (5 points, non spécialistes)
Dans le plan complexe (P)muni d’un repère orthonormal direct [pic] d’unité graphique 4 cm, on considère le point A d’affixe a = −1 et l’application f , du plan (P) dans lui·même, qui au point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M’ = f(M) d’affixe z’ tel que : [pic].
1. Déterminerl’affixe des points M tels que M’ = M.
2. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a : [pic] et [pic] à [pic] près.
3. a. Soit B le point d’affixe [pic]. Placer dans le repère le point B et lamédiatrice ([pic]) du segment [OA].
b. Calculer sous forme algébrique l’affixe b’ du point B’ image du point B par f.
Établir que B’ appartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1.
Placerle point B’ et tracer le cercle (C) dans le repère.
c. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice ([pic]), son image M’ par f appartient au cercle (C).
d. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point C par f (on laissera apparents lestraits de construction).
4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble ([pic]) des points M distincts de A et de O dont l’image M’ par f appartient à l’axe des abscisses.
Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.
a. On pose [pic] avec x et y réels tels que (x, y) [pic] (−1, 0) et (x, y) [pic] (0, 0).
Démontrer que la partieimaginaire de z’ est égale à : [pic].
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ([pic]) et le tracer dans le repère.
b. À l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble ([pic]).
Exercice 2 (5 points, spécialistes)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct [pic] d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C, M, N etP d’affixes respectives : [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
1. a. Placer les points A, B, C, M, N et P dans le repère.
b. Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et NMP.
c. En déduire que ces deux triangles sont semblables.
Dans la suite de l’exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP.
2. Une similitudedirecte
Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P.
a. Montrer qu’une écriture complexe de la similitude s est : [pic].
b. Déterminer le rapport, la valeur de l’angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude s.
c. Vérifier que la similitude s transforme le point C en M.
3. Une similitude indirecte
Soit s’ la similitude dont l’écriture...
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