Détermination de la stabilité à partir du critère de Nyquist
Un système continu en boucle fermée à retour unitaire est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que son lieu de transfert en boucle ouverte parcouru de ω = - ∞ à ω = + ∞ entoure le point critique dans le sens trigonométrique un nombre de fois égal au nombre des pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte.
C'est une conséquence à peu près immédiate du théorème des résidus.

Démonstration du critère

a) Lemme fondamental • Soit F(p) une fonction de la variable complexe p : c'est un nombre complexe dont le module et l'argument sont fonction de p. Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (C) dans le plan complexe, le point d'affixe F(p) décrit un lieu (L) de forme plus ou moins compliquée, et les lieux (C) et (L) se correspondent point par point.

[pic] Cela étant, on démontre que le nombre de fois que le lieu( L) entoure l'origine est lié au nombre de pôles et de zéros de F(p) qui sont situés à l'intérieur de la courbe fermée (C). Quand le point p décrit complètement la courbe (C) dans le sens des aiguilles d'une montre, la variation totale de la phase de F(p) comptée positivement dans le sens trigonométrique est égale à [pic] P et Z étant les nombres respectifs de pôles et de zéros (comptés avec leur ordre de multiplicité) de la fonction F(p) situés à l'intérieur de la courbe (C). En d'autres termes, le nombre de tours N qu'effectue dans le sens trigonométrique le lieu de F(p) autour de l'origine est donné par N= P - Z
b) Application à F(p)=1+H(p) et au contour de Nyquist • Soit F(p) la fonction suivante : F(p)= 1+H(p). La courbe fermée (C) est constituée de la manière suivante et appelée contour de Nyquist : 1. une parallèle à l'axe des quantités imaginaires située infiniment près à droite; 2. une demi-circonférence, de rayon infiniment grand située dans