La perpendiculaire

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I. Perpendicularité
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 Ne doit pas être confondu avec orthogonalité.
La perpendicularité (du latin per-pendiculum, « fil à plomb ») est le caractère de deux entités géométriques qui se coupent à angle droit. La perpendicularité est une propriété importante en géométrie et en trigonométrie, branche des mathématiques fondée surles triangles rectangles, dotés de propriétés particulières grâce à leurs deux segments perpendiculaires.
En géométrie plane, deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. La notion de perpendicularité s'étend à l'espace pour des droites ou des plans.
Les notions d'orthogonalité et de perpendicularité, quoique voisines, possèdent leurs spécificités propreset ne doivent pas être confondues.
1. Sommaire[masquer] * 1 Perpendicularité en géométrie plane * 2 Perpendicularité dans l'espace * 2.1 Droites perpendiculaires * 2.2 Droite perpendiculaire à un plan * 2.3 Plans perpendiculaires * 2.4 Notion générale de sous-espaces perpendiculaires en géométrie euclidienne * 3 Voir aussi * 3.1 Article connexe |
2.Perpendicularité en géométrie plane[modifier]

Le segment PQ en bleu est perpendiculaire au segment AB :
1. prendre un compas,
2. piquer la pointe sèche du compas sur P et tracer l'arc de cercle en rouge (le rayon du cercle en rouge est un peu plus grand que la distance du point P au segment AB).
3. En gardant la même ouverture au compas, piquer la pointe sèche du compas sur A' et tracer l'arc decercle en vert.
4. Toujours en gardant la même ouverture au compas, piquer la pointe sèche sur B' et tracer l'arc de cercle en vert.
5. Les deux arcs en vert se rencontrent au points Q et P.
6. Prendre une règle.
7. Tracer le segment PQ.
En géométrie euclidienne plane, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. Lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit (i.e. quatre anglesdroits), elles sont dites perpendiculaires. Les directions des droites étant orthogonales, les droites sont dites aussi orthogonales.En revanche, deux segments peuvent avoir des directions orthogonales sans pour autant se couper. Ce n'est que si les segments se coupent en angle droit qu'ils seront dits perpendiculaires.
Dans le plan, par un point donné, ne passe qu'une seule droite perpendiculaire àune droite donnée.
Dans le plan, les notions de droites perpendiculaires et parallèles sont liées par les propriétés suivantes :
* Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
* Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
* Si deux droites sont perpendiculaires à une mêmedroite alors elles sont parallèles entre elles.

Droites perpendiculaires : le produit de leur pente (ou taux de variation) est égal à -1.
Si le plan est muni d'un repère orthonormal, et si les droites sont définies par les équations y = ax + b et y = a'x + b'. Les droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs aa' est égal à -1.
Si le plan est munid'un repère orthonormal et si les droites sont définies par les équations ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0, les droites sont perpendiculaires si et seulement si aa' + bb' = 0.
En TEX, on note la perpendicularité avec le code \perp ce qui donne : .
3. Perpendicularité dans l'espace[modifier]
Droites perpendiculaires[modifier]
Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si etseulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales. Elles ne seront dites perpendiculaires que si elles sont sécantes.
Dans l'espace, si une droite est donnée et si un point non situé sur la droite est donné,...
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