La philosophie

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  • Publié le : 10 octobre 2010
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Les limites
Description :
En mathématiques, rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette définition très intuitive, deux notions restent à définir avec précision : la notion de « s'approcher » et celle de « valeur extrême ».
Historiquement,les mathématiques se sont d'abord intéressées aux limites de suites : on cherchait à savoir si, pour les grandes valeurs de l'indice, les termes de la suite se rapprochaient d'une valeur particulière, c'est-à-dire si, à partir d'un certain rang, on était aussi proche que l'on veut de cette valeur particulière. La notion de proximité est liée à une distance qui dans R est définie par la valeurabsolue d'une différence, mais cette notion peut se généraliser à tout espace métrique. Plus tard, la notion s'est étendue aux espaces topologiques et « être proche » signifie alors « être dans un voisinage arbitrairement choisi ».
Ensuite est intervenue la notion de limite de fonction, initialement rattachée à la limite de suite. Pour chercher la limite d'une fonction quand la variable s'approche dea, on cherchait à déterminer la limite de la suite (f(un)) pour toute suite (un) dont la limite était a. La complexité de cette approche et la multiplicité des cas ont conduit à définir la notion de limite de fonction indépendamment de celle de limite de suite. Pour pouvoir manipuler la notion de limite et l'exploiter sans erreur, il a été nécessaire de la définir de manière plus précise et plusformelle. C'est ainsi que cet article présente une définition formelle de la limite d'une suite convergente, de la limite d'une fonction à valeurs dans R, la notion de limite infinie, et présente le cas de l'espace métrique et de l'espace topologique.
• La suite (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres réels est convergente de limite 0.
• La suite (3, 3, 3, 3, 3, ...) est convergente de limite3.
• La suite (1, -1, 1, -1, 1, ...) est non convergente
• La suite (1, -2, 3, -4, 5, ...) est divergente.
• La suite (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) est convergente de limite 1. Cette suite est un exemple de série.
• Si a est un nombre réel de valeur absolue |a| < 1, alors la suite de terme général an est convergente de limite 0.
• Si a > 0, alors la suite de terme général a1/n est convergente de limite 1.

La dérivée

Théorie :

La dérivée, c'est un truc qui permet de calculer la pente d'une courbe (si elle monte de beaucoup ou pas). Prenons une fonction f et un point a sur l'axe des abscisses. On va chercher la pente de la courbe au point M d'abscisse a.
[pic]

Sa pente est égale à la pente de sa tangente au même point.On sait calculer la pente d'une droite qui passe par deux points A et B avec la formule
[pic]

Mais ici nous n'avons qu'un point M. Prenons un nombre h au hasard et placons le point N d'abscisse a+h.
[pic]

Les points M et N ont pour coordonnées :
[pic]

La droite (MN) a donc pour coefficient directeur :
[pic]

On se rend compte que plus h est petit, plus la droite verte se rapprochede la droite rouge, c'est à dire que quand h tend vers 0, le nombre [pic]se rapproche du coefficient directeur de la droite rouge en x = a. Le nombre [pic], si il existe, est égal à la pente de la courbe en x = a. C'est le nombre que l'on cherchait.
Il est noté [pic]. C'est la dérivée de f au point a.

[pic]

Sur le dessin ci dessus, [pic]est positif car la tangente monte et donc lecoefficient directeur de la tangente est positif. [pic]est également positif mais est moins grand car la tangente monte moins. On a aussi [pic]et [pic]

Calcul de dérivée en un point :

Calcul de la dérivée de la fonction [pic]en x = 2 :
[pic]

Nous avons vu graphiquement ce qu'était la dérivée d'une fonction en un point, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Nous...
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