B ACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2010 —————— Pondichéry (avril 2010)

MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction Série : S ——————

Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 7 ——————

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E XERCICE 1
PARTIE A Soient a et b deux réels tels que a < b. Soient en outre deux fonctions f et g continues sur l’intervalle [a; b] telles que : ∀t ∈ [a; b], f (t ) Il vient : ∀t ∈ [a; b], f (t ) g (t ) ⇐⇒ f (t ) − g (t ) 0 ⇐⇒ (g − f )(t ) 0. g (t ).

D’où, d’après le deuxième résultat supposé connu, comme l’application g − f est positive sur l’intervalle [a; b] : b (g (t ) − f (t )) dt a 0.

Du coup, en utilisant le premier résultat supposé connu et comme la soustraction est la même opération que l’addition de l’opposé : b b b

(g (t ) − f (t )) dt = a a

g (t ) dt − a f (t ) dt

0

et cette dernière proposition est équivalente à : b b b b

g (t ) dt a a

f (t ) dt ⇐⇒ a f (t ) dt a g (t ) dt comme voulu.

PARTIE B 1. f 1 est la fonction définie sur R+ par : ∀x ∈ R+ , f 1 (x) = ln(1 + x). a. Déterminons la limite de la fonction f 1 en plus l’infini : lim 1 + x = +∞ ∧ lim ln = +∞
+∞ composition

x−→+∞

=⇒

lim f 1 = +∞.
+∞

b. La fonction x −→ 1 + x est dérivable sur R+ et est en outre strictement positive sur cet intervalle. D’où f 1 , composée de cette fonction par le logarithme népérien est dérivable sur R+ . (ln u) = u 1 u ∀x ∈ R+ , f 1 (x) = . 1+x Pour tout réel x positif, f 1 (x) est une quantité strictement positive. Par conséquent, f est strictement croissante sur R+ .

2

c. La fonction x −→ 1 est continue donc primitivable sur R+ . Choisissons comme fonction primitive x −→ x. Il vient d’après la règle d’intégration par parties :
1 1

I1 =

0

f 1 (x) dx =
1 1

0

1 × f 1 (x) dx = [x ln(x + 1)]1 − 0 u u

I PP

1 0

x dx x +1

I 1 = ln 2 −

dx +
0 0

dx x +1

=

=ln |u|

ln 2 − 1 + [ln |x + 1|]1 = 2 ln 2 − 1. 0

Par continuité et positivité de la fonction f 1 sur l’intervalle